קבוע קפרקר

קבוע קפרקר, הקרוי על שמו של המתמטיקאי ההודי דאטארייה רמאצ'אנדרה קפרקר שגילה את תכונותיו, הוא המספר 6174, שמתאפיין בכך שרצף פעולות חשבוניות מסוימות על מספר כלשהו בן 4 ספרות יסתיים תמיד בהגעה ל-6174.

בחר מספר בן ארבע ספרות (שלא כולן שוות זו לזו). מותר להוסיף למספר אפסים מובילים כך שיהיה בן 4 ספרות. כעת:

סדר את ספרות המספר בסדר יורד וכן בסדר עולה, לקבלת שני מספרים שונים בעלי 4 ספרות (תוך הוספת אפסים מובילים במקרה הצורך).
חסר את המספר הקטן מהמספר הגדול.
חזור על התהליך עם המספר החדש.

מתברר שתהליך זה יוביל תוך שבעה צעדים לכל היותר למספר 6174, ושם ייעצר, כיוון שביצוע תהליך זה על המספר 6174 יחזיר את אותו המספר עצמו (‎7641 - 1467 = 6174).

דוגמה, עבור המספר 4915:

‎9541 - 1459 = 8082
‎8820 - 0288 = 8532
‎8532 - 2358 = 6174

דוגמה נוספת, עבור המספר 2111:

‎2111 – 1112 = 0999
‎9990 – 0999 = 8991 (יש לזכור להוסיף את הספרה 0 למספר שהתקבל בצעד הקודם, כיוון ש-‎999 - 999 = 0)
‎9981 – 1899 = 8082
‎8820 – 0288 = 8532
‎8532 – 2358 = 6174

המספרים היחידים בעלי 4 ספרות שעבורם תהליך זה אינו מסתיים במספר 6174 הם רצפים של 4 ספרות זהות. רצף כזה, כגון 3333, יגיע למספר 0 לאחר ביצוע צעד אחד.

תכונתו של קבוע קפרקר מאפשרת להציגו כקסם של קריאת מחשבות שתמציתו: בחר מספר כלשהו בן 4 ספרות, עשה פעולות אלה, חשוב היטב על התוצאה, נכון שהגעת ל-6174?

למספר 495 תכונה דומה, והוא מתקבל מתהליך דומה עבור מספר כלשהו בן 3 ספרות. ביצוע התהליך על מספר בין 2 ספרות יביא תמיד למספר 9.

הוכחה שקבוע קפרקר יחיד אם הוא קיים

נראה כי 6174 הוא המספר הארבע-ספרתי היחיד שהפעלת התהליך שתואר בראש הערך עליו מחזירה את אותו מספר. מכאן שאם התהליך עוצר, הוא עוצר במספר הזה (הוכחה זו אינה מראה שהתהליך עוצר: הוא עשוי, א-פריורי, להגיע למחזור, או למספר כגון 3333; בדיקת כל האפשרויות מראה שהתהליך אכן מגיע בסופו של דבר ל-6174).

נניח כי המספר המתקבל מהסידור היורד הוא abcd, והמספר המתקבל מהסידור העולה הוא dcba, כך ש: $9\geq a\geq b\geq c\geq d\geq 0$ .

נניח כי החיסור ביניהם נותן את המספר ABCD. מתוך כללי החיסור, עולה כי:

‎D = 10 + d - a (כיוון ש-‎a > d)
‎C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b (כיוון ש-‎b > c - 1)
‎B = b - 1 - c (כיוון ש-‎b > c)
‎A = a - d

המספר ABCD שיגרום לעצירת שרשרת הצעדים הוא מספר שספרותיו A, B, C ו-D הן תמורה מסוימת של הספרות a, b, c ו-d. כל אחת מ-‎4! = 24 התמורות האפשריות מספקת מערכת של 4 משוואות עם 4 נעלמים, הניתנת לפתרון. הפתרון היחיד שנותן מספרים שלמים בין 0 ל-9 הוא הפתרון שבו ‎ABCD = bdac, והפתרון המספרי הוא: ‎a=7, b=6, c=4, d=1. למערכת המשוואות אין פתרון אחר במספרים שלמים, ולכן 6174 הוא המספר היחיד בעל התכונות של קבוע קפרקר. ואכן, 6174=7641-1467.