מרחב ספרבילי

בטופולוגיה, מרחב ספרבילי או מרחב פָּרִיד הוא מרחב שקיימת בו קבוצה צפופה בת מנייה. אינטואיטיבית פירוש הדבר הוא שקבוצה בת מנייה מאפשרת לקרב היטב כל איבר במרחב.

דוגמה למרחב ספרבילי הוא הישר הממשי, משום שקבוצת המספרים הרציונליים היא קבוצה צפופה (שכן כל קטע פתוח מכיל מספר רציונלי) וקבוצת המספרים הרציונליים היא בת מנייה. מרחב דיסקרטי שאינו בן מנייה הוא לא ספרבילי. גם המספר הסודר הראשון שאיננו בן מנייה, עם טופולוגיית סדר, אינו ספרבילי.

מרחב מטרי קומפקטי הוא ספרבילי (משום שהוא חסום כליל). מרחב מטרי מקיים את אקסיומת המניה השנייה אם ורק אם הוא ספרבילי.

משפט: כל מרחב שמקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא ספרבילי.

הוכחה: בהינתן מרחב טופולוגי $X$ עם בסיס בן מנייה ${\mathcal {B}}=\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, נוכל לבחור באופן שרירותי $x_{n}\in B_{n}$ לכל $n\in \mathbb {N}$ ולעיין בקבוצת כל הנקודות האלו, שנסמנה $A=\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$. היא כמובן בת מנייה מעצם הגדרתה, ובנוסף ${\overline {A}}=X$ (כלומר $A$ צפופה): בהינתן $x\in X$, כל איבר בבסיס $B_{n}$ המכיל אותו חותך את $A$ (מעצם הגדרת $A$) ולכן $x\in {\overline {A}}$. $\blacksquare$

הכיוון ההפוך של המשפט שלעיל לא נכון: לא כל מרחב ספרבילי הוא מרחב מנייה שנייה. דוגמה לכך היא הישר של סורגנפריי $\mathbb {R} _{\ell }$ (כלומר הישר הממשי $\mathbb {R}$ עם טופולוגיית הגבול התחתון). שם מתקיים ${\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} _{\ell }$ ולכן $\mathbb {R} _{\ell }$ ספרבילי, אך ניתן להראות שהוא לא מרחב מנייה שנייה.

מכפלה של עד (כולל) עוצמת הרצף מרחבים ספרבילים (עם טופולוגיית המכפלה) היא ספרבילית. לעומת זאת, מכפלה של יותר מעוצמת הרצף מרחבים לא טריוויאליים איננה ספרבילית.

ספרביליות אינה תכונה תורשתית. למשל, המרחב $\mathbb {R} _{\ell }\times \mathbb {R} _{\ell }$ ספרבילי (כמכפלת שני מרחבים ספרביליים), אך האלכסון $L=\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {R} \}$ הוא תת-מרחב שלו שאינו ספרבילי.

מרחב הוא ספרבילי תורשתית אם כל תת-מרחב סגור הוא ספרבילי. קיומו של מרחב רגולרי (לרבות T0) שהוא ספרבילי-תורשתית אבל אינו לינדלף, תלוי באקסיומות של תורת הקבוצות.

ראו גם

• מרחב אוריסון אוניברסלי

קישורים חיצוניים

• מרחב ספרבילי, באתר MathWorld (באנגלית)