קבוצה סדורה צפופה

בתורת הקבוצות, קבוצה סדורה היא צפופה אם בין כל שני איברים שלה, יש איבר נוסף.

קבוצה A עם סדר חלקי נקראת "צפופה" אם לכל $x<y\in A$ יש $\!\,z\in A$ כך ש-$\!\,x<z<y$. בקבוצה צפופה אין משמעות למושג "האיבר הקטן ביותר הגדול מ-x", משום שלכל איבר הגדול מ-x, יש איבר נוסף ביניהם. בפרט, בין כל שני איברים בקבוצה צפופה יש אינסוף איברים אחרים.

לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים צפופה: הממוצע החשבוני של כל שני מספרים רציונליים הוא רציונלי. לעומתה, קבוצת המספרים הטבעיים אינה צפופה: אין מספר טבעי בין 1 ל-2. גאורג קנטור הוכיח שקבוצת המספרים הרציונליים היא הקבוצה הסדורה היחידה (עד כדי איזומורפיזם) שהיא בת-מניה, צפופה, ונטולת מינימום ומקסימום.

תת-קבוצה צפופה

תת-קבוצה B של קבוצה סדורה A היא תת-קבוצה צפופה, אם בין כל שני איברים של $A$ יש איבר של $B$, כלומר לכל $x,y\in A$ שעבורם $\!\,x<y$, קיים $\!\,z\in B$ כך ש-$\!\,x<z<y$. לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים צפופה בקבוצת הממשיים (זו תוצאה של הארכימדיות של הממשיים). קבוצה היא צפופה (במובן שהוגדר לעיל) אם ורק אם היא צפופה כתת-קבוצה של עצמה. אם B צפופה ב-A, אז כל אחת מהן מוכרחה להיות צפופה.

סדר ליניארי צפוף והישר הממשי

כל קבוצה סדורה ליניארית בת מניה ניתן לשכן בקבוצת המספרים הרציונליים. קנטור הראה ב-1895 שהמספרים הרציונליים הם הקבוצה הסדורה-ליניארית הצפופה בת-המניה היחידה שאין לה איבר ראשון ואחרון. המספרים הממשיים הם הקבוצה הסדורה-ליניארית הספרבילית והשלמה היחידה שאין לה איבר ראשון ואחרון. (קבוצה סדורה היא ספרבילית אם יש לה תת-קבוצה צפופה בת-מניה, ושלמה אם היא מקיימת את אקסיומת החסם העליון).