קבוצה קמורה לחלוטין

במתמטיקה, קבוצה קמורה לחלוטין (בספרות נקראת לעיתים דיסק) היא תת-קבוצה קמורה ומאוזנת של מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים.

לקבוצות מסוג זה יש חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית והן משמשות לתיאור מרחבים וקטוריים טופולוגים כדוגמת מרחב קמור מקומית.

בערך זה נסמן ב-$V$ מרחב וקטורי כלשהו. כמו כן, נסמן ב-$\mathbb {K}$ את השדה מעליו פועל $V$, כאשר $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ (שדה הממשיים) או $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ (שדה המרוכבים).

מבוא וסימונים מתמטיים

קבוצה $C\subseteq V$ תקרא קבוצה קמורה אם ורק אם לכל $0\leq t\leq 1$ ולכל $v,u\in C$ מתקיים כי $tv+(1-t)u\in C$.

קבוצה $B\subseteq V$ תקרא קבוצה מאוזנת אם ורק אם לכל $r\in \mathbb {K}$ המקיים $|r|\leq 1$ ולכל $v\in B$ מתקיים כי $rv\in B$

בהינתן קבוצה $A\subseteq V$ מסמנים:

• $\operatorname {Con} (A)$ - נקרא הקמור של $A$ והוא הקבוצה הקמורה המינימלית לפי יחס ההכלה המכילה את $A$.
• $\operatorname {Bal} (A)$ - נקרא הקליפה המאוזנת של $A$ והוא הקבוצה המאוזנת המינימלית לפי יחס ההכלה המכילה את $A$.

שתי קבוצות אלו מוגדרות היטב לכל $A$.

עבור $A,B\subseteq V$, $v\in V$ ו-$\lambda \in \mathbb {K}$ מסמנים:

• $A+B:=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$
• $A+v=v+A:=\{a+v\mid a\in A\}$
• $\lambda A:=\{\lambda a\mid a\in A\}$

הגדרה

בהינתן מרחב וקטורי $V$ מעל $\mathbb {K}$ (שדה המרוכבים או הממשיים) וקבוצה $B\subseteq V$, הקבוצה $B$ תקרא קבוצה קמורה לחלוטין אם ורק אם היא מקיימת את אחד התנאים השקולים הבאים:

• $B$ קמורה ומאוזנת
• לכל $\alpha ,\beta \in \mathbb {K}$ המקיימים $|\alpha |+|\beta |\leq 1$, מתקיים כי $\alpha B+\beta B\subseteq B$
• לכל $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {K}$ המקיימים $|\alpha |+|\beta |\leq |\gamma |$, מתקיים כי $\alpha B+\beta B\subseteq \gamma B$
• לכל $n\in \mathbb {N}$ (מספר טבעי) ולכל $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\in \mathbb {K}$ המקיימים $\sum _{i=1}^{n}{|\alpha _{i}|}\leq 1$, מתקיים כי $\alpha _{1}B+\dots +\alpha _{n}B\subseteq B$
• לכל $n\in \mathbb {N}$ (מספר טבעי) ולכל $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n},\beta \in \mathbb {K}$ המקיימים $\sum _{i=1}^{n}{|\alpha _{i}|}\leq |\beta |$, מתקיים כי $\alpha _{1}B+\dots +\alpha _{n}B\subseteq \beta B$

אם נתון כי $\mathbb {K} =\mathbb {R}$, התנאי הבא מספק:

• $B$ קמורה וסימטרית לשיקוף (כלומר, $v\in B\Leftrightarrow -v\in B$)

אם נתון כי $\mathbb {K} =\mathbb {C}$, התנאי הבא מספק:

• $B$ קמורה וסימטרית לסיבוב מרוכב (כלומר, לכל $v\in B$ ולכל $0\leq \theta \leq 2\pi$ מתקיים כי $e^{i\theta }v\in B$)

הקמור המאוזן

בהינתן הקבוצה באפור כהה, הקבוצה באפור הבהיר היא הקמור המאוזן שלה.

בהינתן קבוצה $A\subseteq V$ מגדירים את הקמור המאוזן של $A$ להיות:

$\operatorname {Cobal} (A):=\operatorname {Con} (\operatorname {Bal} (A))$

כלומר, הקמור של הקליפה המאוזנת של $A$. קבוצה זו היא הקבוצה הקמורה לחלוטין המינימלית על-פי יחס ההכלה שמכילה את $A$. יש להדגיש כי באופן כללי:

$\operatorname {Con} (\operatorname {Bal} (A))\neq \operatorname {Bal} (\operatorname {Con} (A))$

ולכן סדר הפעולות חשוב.

מרחב קמור מקומית

חשיבותן של קבוצות קמורות לחלוטין בא לידי ביטוי בהגדרה של מרחבים קמורים מקומית. מרחב וקטורי טופולוגי $V$ ייקרא מרחב קמור מקומית אם ורק אם לראשית שלו יש בסיס סביבות מקומי המורכב מקבוצות פתוחות קמורות לחלוטין.

אם ידוע כי פעולת חיבור הווקטורים של מרחב וקטורי רציפה לפי הטופולוגיה על $V$, ניתן לעדן את הדרישה הנ"ל לכך שלמרחב יש בסיס מקומי בראשית המורכב מקבוצות קמורות כלשהן (לווא דווקא קמורות לחלוטין). את הבסיס הקמור לחלוטין ניתן לבנות על-ידי לקיחת כל הקמורים המאוזנים של רכיבי הבסיס המקורי.

למרחבים קמורים מקומית חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית שכן הם מרחיבים את ההגדרה של מרחב נורמי ומאפשרים להגדיר בהם מבנים דיפרנציאלים מופשטים כגון נגזרת גאטו, וכן מקיימים גרסאות מוכללות של משפטים כגון משפט האן-בנך.

קשר לנורמות למחצה

לקבוצות קמורות לחלוטין קשר הדוק למושג נורמה-למחצה.

בהינתן קבוצה קמורה לחלוטין $B\subseteq V$ שהיא גם קבוצה בולעת, ניתן להוכיח כי פונקציונל מינקובסקי $\rho _{B}$ הוא נורמה-למחצה.

מהצד השני, בהינתן נורמה-למחצה (ובפרט נורמה) $\rho$ ורדיוס כלשהו $r>0$, הכדור הסגור $B_{r}:=\{v\in V\mid \rho (v)\leq r\}$ הוא קבוצה קמורה לחלוטין ובולעת, ובפרט כדור היחידה המוגדר לפיו ($r=1$). יתרה מכך, ניתן להוכיח כי כל נורמה-למחצה שווה לפונקציונל מינקובסקי המוגדר ביחס לכדור היחידה הסגור שלה.

עולה מכך כי ניתן להגדיר כל נורמה-למחצה באופן חד-חד-ערכי על ידי כדור היחידה שלה, שהוא קבוצה קמורה לחלוטין.

תכונות

• חיתוך (סופי או אינסופי) של קבוצות קמורות לחלוטין הוא קמור לחלוטין.
• עבור מרחב וקטורי טופולוגי $V$, כל קבוצה קמורה לחלוטין $B\subseteq V$ שהיא גם פתוחה חייבת להיות קבוצה בולעת. הדבר נובע מכך שכל סביבה של הראשית במרחב וקטורי טופולוגי היא קבוצה בולעת.
• איחוד של שרשרת של קבוצות קמורות לחלוטין על-פי יחס ההכלה הוא קמור לחלוטין.
• בהינתן קבוצה קמורה לחלוטין $B\subseteq V$ וסקלר $\lambda \in \mathbb {K}$, הקבוצה $\lambda B$ קמורה לחלוטין.
• בהינתן זוג קבוצות קמורות לחלוטין $A,B\subseteq V$, הקבוצה $A+B$ קמורה לחלוטין.

דוגמאות

• הקבוצה הריקה כתת-קבוצה של מרחב וקטורי כלשהו מהווה קבוצה קמורה לחלוטין באופן ריק.
• הקבוצה $\{0\}$ המכילה את הראשית בלבד של מרחב וקטורי כלשהו היא קבוצה קמורה לחלוטין.
• בהינתן מרחב וקטורי $V$, $V$ עצמו הוא קבוצה קמורה לחלוטין
• בהינתן מרחב וקטורי $V$ ותת מרחב $U\subseteq V$, $U$ הוא קבוצה קמורה לחלוטין

ראו גם

• קבוצה קמורה
• קבוצה מאוזנת
• פונקציונל מינקובסקי
• נורמה-למחצה
• מרחב קמור מקומית (אנ')