קוונטיזציה ראשונה

קוונטיזציה ראשונה של מערכת פיזיקלית הוא טיפול סמי-קלאסי במכניקת הקוונטים, שבאמצעותו מערכות פיזיקליות מיוצגות על ידי פונקציית גל, אך סביבתן (לדוגמה, בור פוטנציאל, או שדה אלקטרומגנטי) מטופלים באופן קלאסי. קוונטיזציה ראשונה עוזרת לטיפול במערכת קוונטית יחידה הנמצאת בסביבה מבוקרת הגדולה מספיק כדי שהמכניקה הקלאסית תתאים לתיאורה.
הרעיון הוצע לראשונה ב-1925 על ידי ורנר הייזנברג. ב-1926 נוסח באופן שונה על ידי ארווין שרדינגר.

רקע תאורטי

נקודת הפתיחה היא הרעיון של מצבים קוונטיים וערכים ברי מדידה של מערכת. תורת הקוונטים מניחה שכל המצבים הקוונטים מיוצגים על ידי וקטורי מצב במרחב הילברט, וכן שכל הערכים ברי המדידה מיוצגים על ידי אופרטורים הרמיטיים הפועלים במרחב הזה. וקטורי מצב מקבילים מייצגים את אותו המצב הקוונטי, ועל כן לרוב מתייחסים אל וקטורי מצב מנורמלים. לכל אופרטור הרמיטי ${\hat {A}}$ קיים סט של מצבים עצמיים $|\psi _{\alpha }\rangle$ שהם אינווריאנטים לפעולת האופרטור עד כדי פקטור ממשי $\alpha$. על כן, ${\hat {A}}|\psi _{\alpha }\rangle =\alpha |\psi _{\alpha }\rangle$. הפקטורים הממשיים הללו נקראים ערכים עצמיים של האופרטור. משפט בסיסי לגבי מרחב הילברט קובע כי קבוצת כל המצבים העצמיים של אופרטור הרמיטי כלשהו מהווים בסיס שלם למרחב הילברט.

באופן כללי, המצבים העצמיים $|\psi _{\alpha }\rangle$ ו- $|\psi _{\beta }\rangle$ של שני אופרטורים הרמיטיים שונים ${\hat {A}}$ ו- ${\hat {B}}$ שונים. בנוסף, על ידי מדידת ${\hat {B}}$, המצב הקוונטי נקבע להיות מצב עצמי שלו. המצב יכול להתבטא גם על ידי הבסיס של המצבים העצמיים $|\psi _{\alpha }\rangle$, על ידי $|\psi _{\beta }\rangle =\sum _{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle C_{\alpha \beta }$. בעת מדידת ערך תצפית של אופרטור ${\hat {A}}$, לא ניתן לצפות מראש מה תהיה תוצאת המדידה בוודאות, אלא להשתמש באמצעים הסתברותיים. ההסתברות למדידת $|\psi _{\alpha }\rangle$ כתוצאת המדידה של האופרטור נתונה על ידי הערך המוחלט של המקדם הרלוונטי, בריבוע: $|C_{\alpha \beta }|^{2}$. תוצאה לא רגילה זו של מכניקת הקוונטים ידועה גם כקריסת פונקציית הגל.

ההתפתחות בזמן של וקטור מצב $|\psi (t)\rangle$ נתונה על ידי האופרטור המרכזי במכניקת הקוונטים, ההמילטוניאן ${\hat {H}}$, באמצעות משוואת שרדינגר התלויה בזמן:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle$

מערכות חד חלקיקיות

באופן כללי, מערכת חד חלקיקית ניתנת לתיאור על ידי סט שלם של מספרים קוונטים המסומנים באות $\nu$. לדוגמה, שלושת המספרים הקוונטיים $n,l,m$ מתארים אלקטרון הנע תחת השפעת פוטנציאל קולומבי, כדוגמת אטום המימן, ויוצרים סט שלם (בהתעלם מהספין). ניתן לקבל ייצוג של הפונקציה במקום על ידי ההטלה $\psi _{\nu }(\mathbf {r} )=\langle \mathbf {r} |\nu \rangle$. כל הווקטורים העצמיים של אופרטור הרמיטי יוצרים בסיס שלם, ועל כן ניתן לכתוב כל מצב בצורה $|\psi \rangle =\sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |\psi \rangle$ ובכך לקבל כלל שלמות:

$\sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |=\mathbf {\hat {1}}$

כלל התכונות של החלקיק יכולות להיות ידועות באמצעות וקטורי הבסיס.

מערכות רב-חלקיקיות

במעבר למערכות N-חלקיקיות, כדוגמת מערכת המכילה N חלקיקים זהים (חלקיקים המאופיינים על ידי אותם מספרים קוונטים, כגון מסה, מטען חשמלי וספין) נדרש המעבר מפונקציית מצב של חלקיק יחיד $\psi (\mathbf {r} )$, לפונקציית מצב של N-חלקיקים $\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})$.. הבדל יסודי בין מכניקה קלאסית למכניקת הקוונטים מדבר על העיקרון של חוסר הבחנה בין חלקיקים זהים. לפי מכניקת הקוונטים קיימים רק שני זנים של חלקיקים, בוזונים, ופרמיונים, המקיימים את הכללים הבאים עבור החלפת שתי קואורדינטות $(\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})$:

עבור בוזונים: $\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=+\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})$

עבור פרמיונים: $\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=-\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})$.

פונקציית הגל הכללית ניתנת על ידי דטרמיננטת סלייטר ותורת החלקיקים הזהים. על ידי הבסיס הזה, ניתן לפתור כל בעיית מערכות רב חלקיקיות.

ראו גם

• קוונטיזציה
• קוונטיזציה שנייה