קומפקטיפיקציה

בטופולוגיה, קומפקטיפיקציה של מרחב טופולוגי היא שיכון שלו בתוך מרחב קומפקטי באופן שהמרחב הראשון צפוף בשני. צעד זה מאפשר ליהנות מהתכונות החזקות של המרחב הקומפקטי.

דוגמה: הקטע הסגור $[0,1]$ מהווה קומפקטיפיקציה של הקטע הפתוח $(0,1)$, וגם של הישר הממשי כולו: בשני המקרים הקומפקטיפיקציה כוללת "המצאה" יש-מאין של נקודה חדשה, והדבקתה לשני הקצוות של המרחב הטופולוגי (קצוות "אמיתיים" במקרה הראשון, ו"מדומים" במקרה השני).

המתמטיקאי הרוסי פבל אלכסנדרוב הראה שלכל מרחב טופולוגי (לא קומפקטי) יש קומפקטיפיקציה על ידי הוספה של נקודה אחת, שמסומנת לרוב "$\infty$" (נעיר שלעיתים קומפקטיפיקציה זו מכונה "קומפקטיפיקציית אלכסנדרוב" או "קומפקטיפיקציה חד-נקודתית"). הרעיון הוא להעתיק אל המרחב החדש את הטופולוגיה של המרחב הישן, ולהוסיף לאוסף הקבוצות הפתוחות את כל הקבוצות מהצורה $G\cup \{\infty \}$ כאשר $G$ קבוצה פתוחה של $X$ ו-$X\setminus G$ קומפקטית. כדוגמה נוספת, יש שתי דרכים טבעיות לשכן את המישור המרוכב במרחב קומפקטי. האחת, להוסיף לו את "הנקודה באינסוף", ולקבוע שכל סדרה שהערך המוחלט של איבריה שואף לאינסוף, מתכנסת אל הנקודה החדשה. זהו מקרה פרטי של הקומפקטיפיקציה של אלכסנדרוב, והמרחב המתקבל הוא הספירה של רימן. אפשרות שנייה היא להוסיף את "המעגל באינסוף", כלומר להוסיף למישור מעגל "מבחוץ", כשנקודות המעגל עומדות בהתאמה חד-חד-ערכית לזוויות של ישרים. בדוגמה זו, סדרה מתכנסת לנקודה המתאימה לזווית $\theta$ אם הערך המוחלט של איבריה שואף לאינסוף, והיא אסימפטוטית לישר שהזווית שלו $\theta$. המרחב המתקבל הומיאומורפי לעיגול היחידה הסגור.

קומפקטיפיקציה אמנם "מתקנת" קבוצה להיות קומפקטית, אך עשויה "להרוס" תכונות שלה, כמו למשל את היותה מרחב האוסדורף: $\mathbb {Q}$ האוסדורף, אך הקומפקטיפיקציה החד-נקודתית שלו אינה האוסדורף. ניתן להראות שהקומפקטיפיקציה החד-נקודתית של מרחב $X$ היא האוסדורף אם ורק אם $X$ האוסדורף וקומפקטי מקומית. ואכן, $\mathbb {Q}$ אינו קומפקטי מקומית.

תהליך דומה לקומפקטיפיקציה הוא השלמה של מרחבים מטריים. ההשלמה של מרחב מטרי חסום מהווה קומפקטיפיקציה שלו.

ראו גם

• קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך

לקריאה נוספת

• דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 7 (כרך ג'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.