קירוב

במתמטיקה ובמדעים, קירוב הוא ייצוג לא מדויק של ביטוי מתמטי, המתאים לשימוש כאשר דיוק מוחלט אינו אפשרי או אינו הכרחי. למרות שקירוב מתייחס בדרך כלל למספרים, אפשר ליישם אותו גם בהקשר של פונקציות, צורות וחוקים פיזיקליים. את הקירוב של a על ידי b מסמנים בסימן ≈, כך: a ≈ b.

לעיתים נעשה שימוש בקירוב עקב קיומו של מידע חלקי בלבד המונע שימוש בייצוג המדויק של הביטוי המתמטי. בפיזיקה במיוחד, בעיות רבות מורכבות מדי לפתרון אנליטי מלא ולכן משתמשים בקירובים רבים לצורך פתרונן. לכן פעמים רבות גם בהינתן ייצוג מדויק לאותו הביטוי המתמטי, קירוב עשוי להניב פתרון מספיק מדויק תוך הפחתה משמעותית של מורכבות הבעיה.

סוג הקירוב שבשימוש תלוי במידע הזמין לביצוע הקירוב, במידת הדיוק הנדרש, במידת הרגישות של הבעיה לנתונים ובמשאבים הקיימים לביצוע הקירוב, שכן על פי רוב קירוב מדויק יותר דורש יותר זמן ומאמץ. הקירוב ייחשב למדויק יותר ככל ששגיאת הקירוב תהא קטנה יותר. לקירוב, אפילו כזה המופיע בחישוב על גב מעטפה, יש ערך בעיקר כאשר הוא מלווה בחסם של גודל השגיאה.

קירוב מספרי

ערך מורחב – עיגול

קירוב מספרים נעשה בדרך כלל על ידי עיגול המספר לדיוק מסוים (לערך שלם, לדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית וכיוצא בזאת). שגיאת הקירוב במקרה זה נקראת על פי רוב שגיאת עיגול. מספרים רציונליים ניתן להציג בדיוק מלא בכתיב כשבר עשרוני, ולכן ייצוגם בקירוב נעשה משיקולי נוחות. מספרים אי-רציונליים לא ניתן להציג בדיוק מלא בכתיב כשבר עשרוני, משום שמספר הספרות שלהם מימין לנקודה העשרונית הוא אינסופי ואינו מחזורי, ולכן הצגתם כשבר עשרוני מחייבת קירוב, שבו מוצגות רק הספרות הראשונות שמימין לנקודה העשרונית.

אינטואיטיבית, המילה עיגול נובעת מכך שניתן לדמיין כל מספר כעיגולים והעיגול האחרון הוא השלם או חלק מהשלם האחרון, ועיגולו לשלם נעשה באמצעות מילויו (עיגול כלפי מעלה) או ריקונו (עיגול כלפי מטה).

ערכם של מספרים טרנסצנדנטיים שונים מחושב כסכום של טור אינסופי מתאים. כאשר קיימים טורים אחדים המתכנסים למספר הנדרש, ניתן להשוות ביניהם בהתאם ליעילות שבה מושג הקירוב הנדרש באמצעות כל טור. טור שבו הקירוב הנדרש (למשל 5 ספרות מימין לנקודה העשרונית) מושג באמצעות סיכום של מספר קטן יותר של איברי הטור, נחשב יעיל יותר.

קירוב פונקציות

ערך מורחב – תורת הקירובים

קירוב פונקציות מתמטיות נעשה בדרכים רבות, אך ביסודן עיקרון דומה: פירוק הפונקציה לגורמים בעלי סדר גודל הולך וקטן ובחירת האיברים הדומיננטיים ביותר. תורת הקירובים באנליזה נומרית היא ענף שלם העוסק בכך.

טור טיילור למשל מאפשר לבצע קירוב פולינומי מסדר כלשהו לפונקציה מתמטית בסביבת נקודה קבועה כלשהי. אם משמיטים את כלל האיברים פרט לאיבר מסדר אפס ולאיבר הליניארי - מתקבל קירוב ליניארי לפונקציה (קירוב מסדר ראשון). אם מוסיפים גם את האיבר הריבועי, מתקבל קירוב מסדר שני וכן הלאה. התמרת פורייה מאפשרת לקרב את הפונקציה על ידי בחירת התדרים הבולטים ביותר, גם כאן, ככל שיותר תדרים יתווספו לקירוב, כך שגיאת הקירוב תהא קטנה יותר.

על פי רוב האיברים קלים לחישוב ולכן מועדפים לצורך ניתוחים אנליטיים, וככל שנבחרים יותר איברים לייצג את הפונקציה - כך הקירוב טוב יותר, אך בעלות חישוב גבוהה יותר. דוגמה נפוצה לקירוב פונקציה מתמטית היא קירוב זווית קטנה המספק קירוב מסדר ראשון לחישוב של הפונקציות הטריגונומטריות עבור זוויות קטנות.

קירובים שימושיים הנובעים מטורי טיילור

הקרובים תקפים עבור מספרים קטנים, $\ |x|\ll 1$:

• $\forall \lambda \in \mathbb {R} \ :\ \left(1+x\right)^{\lambda }\approx 1+\lambda x$
• $e^{x}\approx 1+x$ (אקספוננט)
• $\ln(1+x)\approx x$ (לוגריתם טבעי)
• $\sin x\approx x$ (סינוס - קירוב זוויות קטנות)
• $\cos x\approx 1-{\frac {1}{2}}x^{2}$ (קוסינוס - קירוב זוויות קטנות מסדר שני)
• $\tan x\approx x$ (טנגנס - קירוב זוויות קטנות)

קירוב צורות

קירוב צורות גאומטריות בדרך כלל מתייחס לצורה מורכבת או לא מוגדרת כאל אחת מהצורות הבסיסיות לצורך פישוט החישובים הקשורים באותה הצורה. דוגמה נפוצה לקירוב צורות ניתן לראות בחישובים הנוגעים לצורתו של כדור הארץ. מרבית הניתוחים הפיזיקליים מתייחסים לכדור הארץ כאל כדור מושלם, אף על פי שהוא למעשה גאואיד. למרות שניתן להשתמש בניתוח הפיזיקלי בנוסחאות הגאואיד, הקירוב לכדור מדויק מספיק למרבית הצרכים (חישובי כבידה לדוגמה) ומקל משמעותית על הניתוח ולכן מעדיפים להשתמש בו. אם נדרש דיוק יוצא דופן בניתוח, למשל בשיגורי מעבורות לחלל וכיוצא בזאת, קירובים גסים כגון אלו אינם מבוצעים ומשתמשים בערכים המדויקים יותר (שגם הם על פי רוב קירובים בפני עצמם, אך בעלי שגיאה נמוכה יותר).

ראו גם

• תורת ההפרעות
• תורת הקירובים

לקריאה נוספת

• טימותי גוורס, מתמטיקה, ידיעות ספרים, 2007, הפרק "הערכות וקירובים", עמ' 130–144.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קירוב בוויקישיתוף