רציפות במידה אחידה

באנליזה מתמטית, רציפות במידה אחידה (בקיצור, רציפות במ"א) היא תכונה של משפחה של פונקציות רציפות במידה שווה בקטע (או באופן כללי יותר בין שני מרחבים מטריים). במשפחה שבה התכונה מתקיימת, אם $y$ קרוב ל- $x$ אז $f(y)$ קרוב ל-$f(x)$ לכל הפונקציות במשפחה בבת אחת.

נגדיר באופן פורמלי: יהיו $X$ מרחב טופולוגי ו-$(Y,d_{Y})$ מרחב מטרי. תהי $F\subseteq C(X,Y)$ (כלומר קבוצה של פונקציות רציפות מ-$X$ ל-$Y$).

1. נאמר ש-$F$ רציפה במידה אחידה ב-$x_{0}\in X$ אם לכל $\varepsilon >0$ קיימת סביבה $N$ של $x_{0}$ כך שלכל $x\in N$ ולכל $f\in F$ מתקיים $d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon$.
2. נאמר ש-$F$ רציפה במידה אחידה אם היא רציפה במידה אחידה בכל $x_{0}\in X$.

כאשר נתון $(X,d_{X})$ מרחב מטרי קומפקטי אז רציפות במידה אחידה מזדהה עם רציפות במידה שווה במידה אחידה (Uniformly Equicontinuous), כלומר: אם $(X,d_{X})$ מרחב מטרי קומפקטי אז $F$ רציפה במידה אחידה אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta =\delta (\varepsilon )>0$ כך שלכל $x,y\in X$ ולכל $f\in F$, אם $d_{X}(x,y)<\delta$ אז $d_{Y}(f(x),f(y))<\varepsilon$.

תוצאה חשובה הנוגעת לתכונת הרציפות במידה אחידה היא משפט ארצלה-אסקולי, הגורס כי בהינתן מרחב טופולוגי קומפקטי $X$, קבוצה $F\subseteq C(X,\mathbb {R} ^{n})$ היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה, חסומה ורציפה במידה אחידה.

התוצאה הבאה גם היא נוגעת בתכונת הרציפות במידה אחידה, וניתן להיעזר בה בהוכחת משפט ארצלה-אסקולי: יהיו $X$ מרחב טופולוגי קומפקטי, $Y$ מרחב מטרי קומפקטי ו-$F\subseteq C(X,Y)$. אז $F$ חסומה כליל אם ורק אם $F$ רציפה במידה אחידה.

קישורים חיצוניים

• רציפות במידה אחידה, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.