שיחה:משוואת פל

גרסה כללית יותר

גרסה כללית יותר של המשוואה מטפלת במקרה שבו $\ x^{2}-ny^{2}=k$ עבור k שלם כלשהו. לגרסה זו יש קשר הדוק לגרסה ה"מצומצמת", שכן כל פתרון של המשוואה עבור k מתקבל מכפל של פתרון פרטי למשוואה זו מתוך קבוצה סופית מסויימת של פתרונות, בפתרון כלשהו למשוואה $\ x^{2}-ny^{2}=1$. הייתי שמח אם הערך היה מרחיב בנושא - בפרט, כיצד ניתן למצוא את אותה קבוצה סופית (אם הדבר בכלל אפשרי, אלגוריתמית). כמובן שגם צריך להרחיב על הפאנץ' שלא מוזכר כרגע בערך באופן ברור דיו - שאם יש לנו את הפתרון החיובי המינימלי ל-$\ x^{2}-ny^{2}=1$ (מינימלי מבחינת גודלו של y) אז כל פתרון אחר מתקבל כחזקה שלו (כשחושבים עליו כעל איבר של $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {n}}\right]$). גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 18:47, 4 בספטמבר 2009 (IDT)

הערך הורחב באופן נאה, אך אני חושב שעדיין חסרה ההתייחסות ה"אלגוריתמית" שהזכרתי לעיל. כלומר - כרגע ברור שאם יש לנו פתרון למשוואה עבור k=t כלשהו ונכפול אותו בפתרון למשוואה עבור k=1, נקבל שוב פתרון עבור k=t; אבל עדיין לא ברור למה אפשר לקבל כל פתרון למשוואה k=t על ידי כפל כל הפתרונות למשוואה k=1 בקבוצה סופית של פתרונות של k=t, ואיך מוצאים את אותה קבוצה סופית (זו בדיוק הנקודה החשובה למי שרוצה לפתור את המשוואה בפועל). למקרה שזה לא ברור, אני לא יודע איך, אם כי אני משער שזה ידוע לבקיאים בתחום. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 22:11, 21 בספטמבר 2009 (IDT)

זו קבוצה סופית משום שבחוגי שלמים של שדות גלובליים יש מספר סופי של אידיאלים מכל נורמה (Algebraic Number Theory, E. Weiss, p. 209). עוזי ו. - שיחה 00:26, 22 בספטמבר 2009 (IDT)

וידועה דרך אלגוריתמית למצוא אותם? גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 01:08, 22 בספטמבר 2009 (IDT)

החסמים סביב משפט מינקובסקי הם אפקטיביים, כך שעקרונית אפשר לעבור על מספר סופי של אפשרויות ל-y ולבדוק מתי $k+Dy^{2}$ הוא ריבוע; זה אקספוננציאלי בקלט. אני מצפה לאלגוריתם פולינומיאלי באמצעות שברים משולבים, אבל בחיפוש שטחי בכמה ספרים רלוונטיים לא מצאתי כזה. עוזי ו. - שיחה 08:48, 22 בספטמבר 2009 (IDT)

עוד קצת

הערך שופר בהרבה. שני דברים שלדעתי כדאי עדיין לעשות:

1. לפני שמגיעים לחלק ההיסטורי, לתאר קצת יותר את המשוואה - בשביל מה זה טוב, ועד כמה זה פתיר (כלומר, להבליט את הנקודה שמספיק למצוא פתרון אחד באמצעות שברים משולבים - או להכיר אותו - ומכאן ואילך השגת שאר הפתרונות טריוויאלית).
2. לכלול תת-פרק על פתרון המשוואה עבור הדיוטות, בדומה למה שיש בויקיפדיה האנגלית. משהו שניתן יהיה לעבוד איתו גם בלי להעמיק בחלק של המספרים האלגבריים. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 09:07, 22 בספטמבר 2009 (IDT)

קישור שבור

במהלך מספר ריצות אוטומטיות של הבוט, נמצא שהקישור החיצוני הבא אינו זמין. אנא בדקו אם הקישור אכן שבור, ותקנו אותו או הסירו אותו במקרה זה!

• http://www-history.mcs.st-aDdrews.ac.uk/Biographies/Pell.html
  • In משוואת פל on 2011-11-23 01:48:53, Socket Error: 'Name or service not known'
  • In משוואת פל on 2011-11-28 00:46:43, Socket Error: 'Name or service not known'
  • In משוואת פל on 2013-05-04 14:42:58, Socket Error: 'Name or service not known'

--Matanyabot - שיחה 17:43, 4 במאי 2013 (IDT)