שיטת אכרה-באזזי

במדעי המחשב, שיטת אכרה-באזזי היא שיטה המשמשת לניתוח ההתנהגות האסימפטוטית של יחס נסיגה (רקורסיה), אשר מופיע באנליזה של אלגוריתמי הפרד ומשול שבהם תתי-הבעיות הן בגדלים שונים בצורה משמעותית. השיטה מהווה הרחבה משמעותית של שיטת האב, אשר מניחה שתתי-הבעיות של הבעיה הנתונה הן בגדלים זהים.

שיטת אכרה-באזזי תקפה לנוסחאות חוזרות של הצורה:

$T(x)=g(x)+\sum _{i=1}^{k}a_{i}T(b_{i}x+h_{i}(x))\qquad {\text{for }}x\geq x_{0}.$

התנאים לשימוש הם:

• הוכחה לקיום בסיס לאינדוקציה
• $a_{i}$ ו-$b_{i}$ הם קבועים לכל i
• $0<b_{i}<1$ לכל i
• $a_{i}>0$ לכל i
• $\left|g(x)\right|\in O(x^{c})$ כאשר c הוא הקבוע, ו-O הוא סימון אסימפטוטי
• $\left|h_{i}(x)\right|\in O\left({\frac {x}{(\log x)^{2}}}\right)$ לכל i
• $x_{0}$ הוא קבוע

ההתנהגות האסימפטוטית של (T(x נמצאת כאשר קובעים את הערך של p כאשר $\sum _{i=1}^{k}a_{i}b_{i}^{p}=1$ ומכניסים את הערך למשוואה:

$T(x)\in \Theta \left(x^{p}\left(1+\int _{1}^{x}{\frac {g(u)}{u^{p+1}}}du\right)\right)$

באופן אינטואיטיבי, $h_{i}(x)$ מסמלת הפרעה באינדקס של T. כאשר מסמנים ש-$\lfloor b_{i}x\rfloor =b_{i}x+(\lfloor b_{i}x\rfloor -b_{i}x)$ ו$\lfloor b_{i}x\rfloor -b_{i}x$ תמיד בין 0 ל-1, $h_{i}(x)$ יכול לשמש כדי להתעלם מפונקציית הערך השלם באינדקס. בדומה לכך, משוואה דומה יכולה לשמש כדי להתעלם מההפרעה בפונקציית התקרה. לדוגמה, $T(n)=n+T\left({\frac {1}{2}}n\right)$ ו-$T(n)=n+T\left(\left\lfloor {\frac {1}{2}}n\right\rfloor \right)$, יהיו בעלי אותה התנהגות אסימפטוטית לפי שיטת אכרה-באזזי.

השיטה קרויה על שם מפתחיה: מוחמד אכרה ולואי באזזי, שניהם מכהנים כמרצים לאלקטרוניקה והנדסת מחשבים באוניברסיטה האמריקנית בביירות.

קישורים חיצוניים

• Mohamad Akra, Louay Bazzi‏, On the solution of linear recurrence equations, ‏Computational Optimization and Applications 10(2):195–210, 1998