תחום ראשי

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה, תחום ראשי (או תחום אידיאלים ראשיים) הוא תחום שלמות שכל האידיאלים שלו הם ראשיים (אידיאל ראשי של חוג קומוטטיבי $R$ הוא אידיאל מהצורה $Ra=\{xa:x\in R\}$ ). בתחומים ראשיים יש התאמה הדוקה בין אידיאלים לאיברים, ולכן קל יחסית לחשב בהם.

תחומים ראשיים מקיימים תכונה של חוג המספרים השלמים שהיא מהותית לתורת המספרים האלמנטרית: לכל זוג איברים מחלק משותף מקסימלי שאפשר להציג כצירוף שלהם.

דוגמאות

כל חוג אוקלידי הוא חוג ראשי, ולכן חוג המספרים השלמים $\mathbb {Z}$ , חוג השלמים של גאוס $\mathbb {Z} [i]$ , וכל חוג פולינומים במשתנה יחיד מעל שדה נתון, הם חוגים ראשיים. חוג השלמים של השדה הריבועי $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ , כאשר $D$ מספר שלם שלילי, הוא ראשי בתשעה מקרים: $D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163$ ^[1] (מאלה רק חמשת הראשונים הם אוקלידיים; $\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]$ , לדוגמה, ראשי ואינו אוקלידי).

חוג השלמים $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ אינו ראשי; לדוגמה, האידיאל $\langle 2,1+{\sqrt {-5}}\rangle$ אינו ראשי.

חוג הפולינומים במשתנה אחד $k[X]$ הוא חוג אוקלידי ולכן חוג ראשי אך חוג הפולינומים ביותר ממשתנה אחד אינו חוג ראשי: האידיאל $\langle x,y\rangle$ אינו ראשי כי אין פולינום המחלק את שני היוצרים שלו (והוא אינו שווה לכל החוג, כי הוא לא מכיל פולינומים ממעלה 0).

כל תחום הערכה דיסקרטית הוא תחום ראשי.

זיהוי של חוגים ראשיים

פונקציה $\delta :D\rightarrow \mathbb {N}$ היא "נורמת הסה-דדקינד" אם לכל $a,b$ שונים מאפס כך ש- $b$ אינו מחלק את $a$ , קיים צירוף ליניארי $d$ שונה מאפס, עבורו $\delta (d)<\delta (b)$ . בחוג אוקלידי פונקציית הדרגה מקיימת דרישות חזקות יותר. מתברר שתחום שלמות הוא ראשי אם ורק אם יש לו נורמת הסה-דדקינד^[2].

כאשר החוג הוא חוג השלמים של שדה מספרים, אפשר לבדוק אם הוא חוג ראשי באמצעות שדה המחלקה של הילברט.

תכונות של תחומים ראשיים

את ההגדרה, הדורשת שלכל אידיאל יש יוצר יחיד, אפשר לפרק באופן טבעי לשני חלקים: כל אידיאל צריך להיות נוצר סופית (היינו, החוג נותרי), וכל אידיאל נוצר סופית נוצר על ידי איבר אחד (היינו, זהו תחום בזו).

ברמה האלמנטרית, של תכונות האיברים, התכונה הבולטת של תחומים ראשיים היא עובדת קיומו של פירוק יחיד לגורמים; בפרט, לכל שני איברים יש מחלק משותף מקסימלי.

כל חוג ראשי הוא תחום דדקינד. בפרט, לחוג יש ממד קרול 1 (כלומר, כל אידיאל ראשוני לא טריוויאלי הוא מקסימלי). המנה של תחום ראשי ביחס לאידיאל ראשוני, גם היא תחום ראשי.

תחום ראשי מקומי הוא רגולרי. כל חוג מקומי סופי, שבו כל האידיאלים ראשיים, הוא חוג מנה של חוג שלמים בשדה מקומי.

מודולים מעל תחום ראשי

מעל תחומים ראשיים מתקיימת גרסה של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית: כל מודול נוצר סופית מעל תחום ראשי $R$ הוא סכום ישר של מודולים ציקליים. משפט המיון אינו אלא המקרה $R=\mathbb {Z}$ . מעל תחום ראשי, כל תת-מודול של מודול חופשי הוא מודול חופשי, וכל תת-מודול של סכום ישר של מודולים ציקליים, הוא סכום ישר של מודולים ציקליים ^[3].

המקרה הלא קומוטטיבי

חוג (לא קומוטטיבי) שבו כל אידיאל שמאלי נוצר על ידי איבר אחד נקרא "חוג אידיאלים שמאליים ראשי" (PLID). גולדי הוכיח שכל PLID ראשוני הוא חוג מטריצות מעל תחום אור שמאלי.

קישורים חיצוניים

תחום ראשי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

^ מאז 1934 היה ידוע שיש לכל היותר ערך אחד נוסף של $D$ שעבורו החוג ראשי (ושאם קיים כזה ערך, השערת רימן המוכללת אינה נכונה). ב-1955 הוכיח Heegner שהרשימה מלאה, אלא שבנימוקיו נמצאו פערים. הבעיה נסגרה ב-1962 בעבודות של Baker ו- Stark.
^ Zariski-Samuel, Cor. IV.15.2
^ Carl Faith: Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra, Math. Surv. Mon 65, AMS; section 1.15

[1] מאז 1934 היה ידוע שיש לכל היותר ערך אחד נוסף של $D$ שעבורו החוג ראשי (ושאם קיים כזה ערך, השערת רימן המוכללת אינה נכונה). ב-1955 הוכיח Heegner שהרשימה מלאה, אלא שבנימוקיו נמצאו פערים. הבעיה נסגרה ב-1962 בעבודות של Baker ו- Stark.

[2] Zariski-Samuel, Cor. IV.15.2

[3] Carl Faith: Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra, Math. Surv. Mon 65, AMS; section 1.15

[1]

[2]

[3]