תכונת ליוביל

תכונת ליוביל היא תכונה של גרפים שקיומה מצביע על כך שפיזור המסה בגרף מחקה את משפט ליוביל על המישור המרוכב.

כל הגרפים הסופיים מקיימים את תכונת ליוביל, באופן טריוויאלי. גם גרף הסריג $\ \mathbb {Z} ^{d}$ מקיים את תכונת ליוביל. התכונה אינה נשמרת תחת קוואזי-איזומטריות.

הגדרה

גרף מקיים את תכונת ליוביל אם כל הפונקציות ההרמוניות החסומות עליו הן קבועות. בהקשר זה, פונקציה $\ f{:}X\rightarrow \mathbb {C}$ היא הרמונית אם הלפלסיאן מאפס אותה, כלומר $\ {\frac {1}{\deg x}}\sum _{y\sim x}f(y)=f(x)$ לכל קודקוד x (הסכום הוא על הקודקודים השכנים, ו- $\ \deg x$ היא הדרגה).

חבורות ליוביל

חבורה G היא חבורת ליוביל ביחס לקבוצת יוצרים S סופית, אם גרף קיילי של החבורה ביחס ל-S מקיים את תכונת ליוביל. לא ידוע האם התכונה תלויה בקבוצת היוצרים, וגם לא אם תת-חבורה של חבורת ליוביל היא חבורת ליוביל. חבורה היא ליוביל ביחס לקבוצת יוצרים S אם ורק אם תוחלת המרחק של הילוך מקרי על החבורה (בהתאם לקבוצת היוצרים הנתונה) היא תת-ליניארית.

כל חבורת ליוביל היא אמנבילית.