תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי

תנאי הכרחי להתכנסות טורים אינסופיים הוא שהאיבר הכללי ישאף לאפס. באופן פורמלי: אם $\sum _{n\,=\,1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אז $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$.

שימוש

כאשר בודקים אם סדרה מתכנסת או מתבדרת, לרוב בדיקה זו נבדקת תחילה תנאי הכרחי זה, בשל קלות השימוש בו.

שלא כמו מבחני התכנסות, תנאי הכרחי להתכנסות אינו יכול להוכיח בעצמו שהטור מתכנס. זאת מהסיבה הפשוטה שמדובר בתנאי הכרחי אך לא בתנאי מספיק. לפיכך, הכיוון השני של המשפט אינו נכון. כלומר, לא ניתן לומר שאם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ אז $\sum _{n\,=\,1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס. בהחלט ייתכן שהטור $\sum _{n\,=\,1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר גם אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$. מאידך, בזכות הקונטרה פוזיציה מותר לומר כי אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ או $a_{n}$ מתבדרת, אז הטור $\sum _{n\,=\,1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר.

דוגמה

הסדרה ההרמונית $a_{n}={\frac {1}{n}}$ היא דוגמה ידועה לסדרה שסכומה מתבדר, אף על פי שהאיבר הכללי שלה שואף לאפס. באופן כללי, לפי "מבחן ה-p" מתקיים עבור הטור ההרמוני המוכלל $\sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$ כי

• אם $p\leq 0$ אז הטור מתבדר.
• אם $0<p\leq 1$ אז הטור מתבדר לפי מבחן האינטגרל.
• $p>1$ אז הטור מתכנס לפי מבחן האינטגרל.

באופן זה ניתן לראות כי למרות שהאיבר הכללי שואף לאפס, הטור יכול להתכנס או להתבדר.

הוכחה

נגדיר את הסדרה $S_{n}=\sum _{k\,=\,1}^{n}a_{k}$ כסדרת הסכומים החלקיים של הסדרה $a_{n}$.

מההנחה כי $\sum _{n\,=\,1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס נובע שהסדרה $S_{n}$ מתכנסת. כלומר קיים $L\in \mathbb {R}$ עבורו $\lim _{n\to \infty }S_{n}=L$.

נשים לב כי $S_{n}-S_{n-1}=(a_{1}+\cdots +a_{n})-(a_{1}+\cdots +a_{n-1})=a_{n}$, אזי:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(S_{n}-S_{n-1})=\lim _{n\to \infty }S_{n}-\lim _{n\to \infty }S_{n-1}=L-L=0$

אז מטרנזיטיביות השוויון $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$.

קישורים חיצוניים

• תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי, באתר MathWorld (באנגלית)