אבולוט
בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור בפרמטריזציה טבעית, אֵבוֹלוּט (באנגלית: Evolute; בעברית: לָפוּף[1]) מוגדר כמקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות[2] שלה.
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/9/92/Ellipse_evolute.svg/220px-Ellipse_evolute.svg.png)
נוסחת האבולוט היא:
כאשר
- k היא העקמומיות של העקומה (המתקבלת לפי משוואות פרנה מתוך , או בנוסחה מפורשת )
- הוא רדיוס העקמומיות
- הוא וקטור יחידה הניצב לווקטור המשיק לעקומה ויוצר עמו בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית.
אנליטית, ניתן לתאר את האבולוט כתמונה הסינגולרית של ההעתקה
- .
במקום זה, המתקבל עבור , הנורמלים בנקודות קרובות איניפיניטסימלית נחתכים ולכן לא מהווים מערכת קואורדינטות מוגדרת היטב. מכאן נובע שהאבולוט הוא מעטפת של כל הנורמלים לעקומה.[דרושה הבהרה]
משפט שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר: ) על האבולוט טוען שאורך הקשת שווה להפרש רדיוסי העקמומיות בנקודות הקצה:
כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ש-R היא פונקציה מונוטונית (עולה או יורדת) של s בקשת רגולרית, ו-
לפי משוואות פרנה.
הדיון הראשון באבולוט נמצא בכרך ה-V של הספר "חרוטים" ("Conics") מאת אפולוניוס (בסביבות 200 לפני הספירה), אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא כריסטיאן הויגנס (1673).
קישורים חיצוניים
עריכה- אבולוט, באתר MathWorld (באנגלית)
- אבולוט, ב-MathWorld של אריק ויינשטיין
- Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff
- Evolute on 2d curves.
הערות שוליים
עריכה- ^ לָפוּף במילון מתמטיקה (ת"ש, 1940), באתר האקדמיה ללשון העברית
- ^ מרכז העקמומיות לנקודה s הוא הנקודה בה נמצא מרכז המעגל הנושק לעקומה ב-