אופרטור המיקום

אופרטור המיקום הוא אופרטור ממכניקת הקוונטים אשר מתאים למדידת מיקום של חלקיק המתואר על ידי פונקציית גל. נהוג לסמן את אופרטור המיקום בסימון ${\hat {x}}$, על אף שבספרות ישנם סימונים אחרים.

לאופרטור המיקום חשיבות במכניקת הקוונטים, והוא מאפשר לנסח תופעות מורכבות בטבע כדוגמת עקרון אי-הודאות של הייזנברג, וכן על-פיו מוגדר הבסיס של מרחב המיקום.

מבוא

ניתן לתאר חלקיק קוונטי (חד-ממדי) כפונקציית גל $\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ במרחב המיקום, כך שלכל קואורדינטת מיקום $x\in \mathbb {R}$, הערך $\left|\psi (x)\right|^{2}$ יתאר את צפיפות ההסתברות שהחלקיק ימצא בקואורדינטה $x$.

אופרטור המיקום מייצג מדידה של מיקום החלקיק, כך שהפעלה שלו על פונקציית הגל יוצרת הבחנה בין מיקומים שונים של החלקיק.

על אף שהגדרתו של אופרטור המיקום היא במרחב המיקום, ניתן להמירה להגדרה שקולה במרחב התנע, בו פונקציית הגל מתוארת כפונקציית צפיפות הסתברות של ערכי תנע קווי ולא ערכי מיקום.

הגדרה פורמלית במרחב במיקום החד-ממדי

אופרטור המיקום הוא אופרטור המעביר פונקציית גל $\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ המיוצגת במרחב המיקום, לפונקציה ${\hat {x}}\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {C}$, כך שלכל $x\in \mathbb {R}$:

$({\hat {x}}\psi )(x):=x\psi (x)$

באמצעות הגדרה זו ניתן לחשב את ערך התצפית של מיקומו של חלקיק המתואר על ידי פונקציית גל $\psi$. בשימוש בסימון ברה-קט מתקבל:

$\langle {\hat {x}}\rangle _{\psi }=\langle \psi |{\hat {x}}\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle =\int {x\left|\psi (x)\right|^{2}dx}$

ערך זה מייצג את ערך המיקום הממוצע בו יימצא החלקיק עבור מדידה כלשהי.

לערך המיקום הממוצע יהיה ערך אינסופי במקרים שבהם $\psi$ אינה מנורמלת לערך סופי (כלומר $\langle \psi |\psi \rangle =\infty$). דוגמה לכך היא עבור פונקציית גל של חלקיק חופשי.

האופרטור הוא אופרטור הרמיטי מה שמאפשר את מדידתו בעולם הממשי.

ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות

כל $x_{0}\in \mathbb {R}$ מהווה ערך עצמי של האופרטור ${\hat {x}}$ עם הפונקציה העצמית $\delta _{x_{0}}:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ המוגדרת להיות:

$\delta _{x_{0}}(x)=\delta (x-x_{0})$

כאשר $\delta$ היא פונקציית דלתא של דיראק. נהוג לייצג את המצב הקוונטי של פונקציית הגל $\delta _{x}$ בכתיב ברה-קט כך: $|x\rangle$.

הקבוצה $\left\{\delta _{x}\right\}_{x\in \mathbb {R} }$ מהווה בסיס למרחב הילברט $L^{2}(\mathbb {R} )$ ולכן פורסת באופן מלא את מרחב המיקום. כלומר, ניתן לייצג כל מצב קוונטי $|\psi \rangle$ כסכום אינסופי של המצבים $|x\rangle$.

בסיס המיקום הנ"ל הוא בסיס רציף ולכן סכום זה יהיה הלכה למעשה אינטגרל. הדבר שונה ממצבים עצמיים של בעיות קוונטיות כדוגמת בור פוטנציאל אינסופי ואטום המימן, שבהם הבסיס הנפרס על ידי ההמילטוניאן שלהם הוא בסיס בדיד.

על-פי תכונותיה של פונקציית הדלתא של דיראק, ניתן להראות כי לכל מצב קוונטי $|\psi \rangle$ ולכל מצב מיקום $|x\rangle$ מתקיים:

$\langle x|\psi \rangle =\psi (x)$

שלושה ממדים

אופרטור המיקום התלת-ממדי מסומן ב-$\mathbf {\hat {r}}$. אופרטור זה מעביר כל פונקציית גל $\psi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ במרחב המיקום התלת־ממדי לפונקציה הווקטורית $\mathbf {\hat {r}} \psi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$, כך שלכל וקטור מיקום $\mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{3}$ מתקבל:

$(\mathbf {\hat {r}} \psi )(\mathbf {r} ):=\mathbf {r} \psi (\mathbf {r} )$

אופרטור זה הוא אופרטור וקטורי. ניתן לגזור ממנו את האופרטורים הסקלריים ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$ על ידי לקיחת הרכיב המתאים לכל ציר בהתאמה. כך ניתן להגדיר את ערך התצפית לכל ציר בנפרד, או לחלופין באופן מיידי כאופרטור וקטורי בצורה אנלוגית למקרה החד-ממדי:

$\langle \mathbf {\hat {r}} \rangle _{\psi }=\int {\mathbf {r} \left|\psi (\mathbf {r} )\right|^{2}d\mathbf {r} }$

מרחב התנע

על אף שאופרטור המיקום מוגדר במרחב המיקום, קיימת הגדרה שקולה שלו במרחב התנע. במרחב התנע מקבל אופרטור המיקום את הצורה הבאה:

${\hat {x}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}$

כלומר, עבור כאשר פונקציית הגל $\psi$ מוגדרת כפונקציה של התנע הקווי $p$, מתקבל שאופרטור המיקום כמוהו כגזירה לפי $p$ במרחב התנע. כמו כן, במרחב התנע המצבים העצמיים $|x\rangle$ מקבלים את הצורה הבאה:

$\langle x|p\rangle =e^{\frac {ixp}{\hbar }}$

הגדרות אלו דומות להגדרות של אופרטור התנע והמצבים העצמיים שלו במרחב המיקום.

הוכחת שקילות

ניתן להוכיח בצורה ישירה כי ${\hat {x}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}$ במרחב התנע:

במעבר ממרחב המיקום למרחב התנע, כל פונקציית גל של חלקיק עוברת התמרת פוריה. כלומר, לכל מצב קוונטי $|\psi \rangle$:

$\langle p|\psi \rangle ={\tilde {\psi }}(p)$

כאשר ${\tilde {\psi }}$ היא התמרת פורייה של $\psi$. התמרת פוריה של פונקציית הדלתא של דיראק היא פונקציית האקספוננט. לכן, באופן פרטי:

$\langle x|p\rangle ={\overline {\langle p|x\rangle }}=e^{\frac {-ixp}{\hbar }}$

מכאן ניתן להסיק כי:

$\langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{e^{-{\frac {ipx}{\hbar }}}x\psi (x)dx}=\int _{-\infty }^{\infty }{i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}\left(e^{-{\frac {ipx}{\hbar }}}\right)\psi (x)dx}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}\int _{-\infty }^{\infty }{e^{-{\frac {ipx}{\hbar }}}\psi (x)dx}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}{\tilde {\psi }}(p)$

ואכן במרחב התנע אופרטור המיקום שקול לגזירה לפי $p$ (כפול ערך קבוע).

ראו גם

• הפורמליזם של מכניקת הקוונטים
• אופרטור
• עקרון אי-הודאות של הייזנברג