איבר הופכי

באלגברה, איבר הופכי לאיבר נתון הוא איבר שהכפלתו באיבר הנתון נותנת את איבר היחידה. לדוגמה, שליש הוא ההפכי של המספר 3 ביחס לכפל. זוהי הכללה של המושג "מספר הופכי".

המושג "איבר הופכי" מוגדר לכל פעולה בינארית. איבר הופכי ביחס לפעולת החיבור נקרא איבר נגדי.

הגדרה פורמלית

תהי $\ S$ קבוצה שמוגדרת עליה פעולה בינארית שנסמנה $\ *$. אם $\ e$ הוא איבר היחידה של $\ (S,*)$ ומתקיים $\ a*b=e$, אז $\ a$ הוא הופכי משמאל של $\ b$, ו-$\ b$ הוא הופכי מימין של $\ a$. במקרה זה a הפיך מימין ו-b הפיך משמאל.

אם האיבר $\ x$ הופכי מימין והופכי משמאל של איבר $\ y$, אז $\ x$ קרוי הופכי דו-צדדי או בפשטות הופכי של $\ y$. איבר שיש לו הופכי דו-צדדי ב-$\ S$ קרוי איבר הפיך ב-$\ S$.

ביחס לפעולה אסוציאטיבית, אם איבר הוא הפיך מימין ומשמאל אז הוא הפיך, ויש לו הפכי יחיד. הקבוצה של האיברים ההפיכים היא חבורה, המסומנת $\ U(S)$ או $\ S^{*}$. מערכת עם פעולה בינארית (לאו דווקא אסוציאטיבית) שיש בה איבר יחידה וכל איבר בה הפיך מימין ומשמאל נקראת לולאה.

דוגמאות

• לכל מספר ממשי $\ x$ יש הופכי ביחס לפעולת החיבור, והוא המספר הנגדי שלו: $\ -x$
• לכל מספר ממשי שונה מאפס $\ x$ יש הופכי ביחס לפעולת הכפל, והוא ${\frac {1}{x}}$. למספר 0 אין הופכי.
• מטריצה ריבועית $\ M$ שאיבריה נלקחים משדה $\ K$ היא הפיכה (בקבוצת כל המטריצות הריבועיות מאותו גודל, תחת פעולת כפל מטריצות) אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס. המטריצה ההופכית מתקבלת מנוסחת קרמר.
• לכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל יש פונקציה הופכית ביחס לפעולת ההרכבה.
• מודולו מספר ראשוני, לכל מספר יש הופכי כפלי מודולרי.
• לכל איבר בחבורה קיים איבר הופכי לו, כך שמכפלתם היא איבר היחידה של החבורה.
• גם בחוג כללי, לכל איבר, פרט לאיבר היחידה ביחס לחיבור, יכול להתקיים הופכי ביחס לכפל. חוג שלכל איבר ששונה מאפס בו קיים הופכי, נקרא חוג עם חילוק. אם בנוסף הוא קומוטטיבי הוא נקרא שדה. קבוצת האיברים ההפיכים ביחס לכפל בחוג היא חבורה כפלית הנקראת "חבורת ההפיכים" של החוג.
• ההופכי של איבר היחידה הוא עצמו.

הופכי שמאלי וימני בחוגים

בחוג R שאינו קומוטטיבי, ייתכן שאיבר a יהיה הפיך משמאל אך לא מימין. אם a הפיך משמאל אז a הפיך מימין אם ורק אם a אינו מחלק אפס מימין. חוג R שבו מתקיים ab=1 אם ורק אם ba=1 נקרא חוג סופי-דדקינד. חוג שאינו סופי-דדקינד מכיל חוגי מטריצות מכל ממד בתור תת-חוגים (בלי יחידה).