פעולה בינארית

פעולה בינארית (או אופרטור בינארי) היא פעולה מתמטית המתבצעת בין שני איברים בקבוצה (לא בהכרח שונים זה מזה).

הפעולה $\circ$ לוקחת שני איברים $x,y$ ומחזירה איבר חדש $x\circ y$

הגדרה פורמלית

פעולה בינארית על קבוצת איברים היא פונקציה מזוגות סדורים של אברי הקבוצה אל הקבוצה, ובסימון מתמטי: עבור הקבוצה $S$, פעולה בינארית היא פונקציה $f$ מהמכפלה הקרטזית של הקבוצה בעצמה, אל הקבוצה: $f:S\times S\to S$. לעיתים $f$ היא פונקציה חלקית, לדוגמה: לא ניתן לחלק באפס.

פעולות בינאריות הן הבסיס למבנים אלגבריים הנחקרים במסגרת האלגברה המופשטת. מבנים העוסקים בפעולות בינאריות הם חבורה, חוג, שדה ועוד. פעולה בינארית מסומנת פעמים רבות בין שני האיברים שעליהם היא פועלת, למשל, אופרטור החיבור $+$ נכתב $a+b$, ולא בכתיב הפונקציונלי $+(a,b)$. לפעולות בינאריות על קבוצות סופיות יש טבלת פעולה.

תכונות

פעולות בינאריות הן פעמים רבות קומוטטיביות או אסוציאטיביות. פעמים רבות יש בהן איבר אדיש ואיבר הופכי. נדגים מושגים אלה באמצעות פעולה שנסמנה $\star$ הפועלת על קבוצה $S$:

• פעולה המקיימת $x\star y=y\star x$ לכל $x,y\in S$ נקראת פעולה חילופית (קומוטטיבית).
• פעולה המקיימת $(x\star y)\star z=x\star (y\star z)$ לכל $x,y,z\in S$ נקראת פעולה אסוציאטיבית (כלומר מקיימת את חוק הקיבוץ).
• אם קיים איבר $e\in S$ אשר מקיים לכל $x\in S$ את התנאי $x\star e=e\star x=x$ אז הוא נקרא איבר אדיש (או נייטרלי) כלפי הפעולה. לפי ההקשר, איבר אדיש יכונה איבר יחידה או איבר האפס, ויסומן ב־$1$, ב־$0$, ב־$e$ או ב־$I$.
• אם קיים איבר אדיש $e$ לפעולה, אז איבר ההופכי לאיבר $x\in S$ הוא איבר $y\in S$ שמקיים $x\star y=y\star x=e$. האיבר ההופכי מסומן לרוב ב־$x^{-1}$ או ב־$-x$.

דוגמאות

ארבע פעולות החשבון (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) הן פעולות בינאריות מוכרות וידועות. גם כפל מטריצות הוא פעולה בינארית. שרשור מחרוזות, כלומר פעולה שלוקחת שתי מחרוזות של תווים ומצמידה אותן זו לזו, היא דוגמה נוספת לפעולה בינארית.

בלוגיקה בוליאנית נפוץ השימוש בפעולות בוליאניות בינאריות: או, וגם, XOR, NAND, NOR ו-XNOR.

ראו גם

• פעולה אונארית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פעולה בינארית בוויקישיתוף

• פעולה בינארית, באתר MathWorld (באנגלית)