אי-שוויון אדמר

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, אי-שוויון אדמר (ידוע גם כמשפט הדטרמיננטות של אדמר) פורסם לראשונה על ידי ז'אק אדמר ב-1893. לפי האי-שוויון, הערך המוחלט של דטרמיננטה של מטריצה שערכיה מספרים מרוכבים קטן או שווה למכפלת האורכים של ווקטורי עמודותיה (שורותיה). כאשר למטריצה יש רק ערכים ממשיים, נפח המקבילון במרחב האוקלידי ה-$n$-ממדי הנפרש על ידי עמודות המטריצה (באמצעות צירופים ליניאריים עם מקדמים לא שליליים קטנים או שווים ל-1) קטן או שווה למכפלת אורכי עמודותיה.

בניסוח פורמלי, אי-שוויון אדמר קובע שאם $N$ היא מטריצה בעלת עמודות $v_{i}$, $1\leq i\leq n$, אז

$,\left|\det(N)\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|$

ושוויון ייתכן אם ורק אם העמודות של מטריצה $N$ אורתוגונליות.

תוצאות

אם הערכים המוחלטים של האיברים של מטריצה $N$ חסומים מלעיל על ידי $B$, כלומר $\left|N_{i,j}\right|\leq B$ לכל $1\leq i,j\leq n$, אז מתקיים,

$.\left|\det(N)\right|\leq B^{n}n^{n/2}$

בפרט, אם הערכים של $N$ הם רק $1$ או $-1$ אז

$.\left|\det(N)\right|\leq n^{n/2}$

בקומבינטוריקה, מטריצה $N$ שעבורה מתקיים שוויון, כלומר, שבנוסף לדרישות הקודמות העמודות של $N$ הן אורתוגונליות, נקראת מטריצת אדמר.

באופן כללי יותר, נניח ש-$N$ היא מטריצה מרוכבת מסדר $n$, שהערכים המוחלטים של איבריה שלה חסומים מלעיל על ידי $1$, כלומר $\left|N_{i,j}\right|\leq 1$ לכל $1\leq i,j\leq n$, מאי-שוויון אדמר נובע,

$.|\operatorname {det} (N)|\leq n^{n/2}$

עבור מטריצה ממשית $N$ מתקיים שוויון אם ורק אם $N$ היא מטריצת אדמר.

אם מטריצה $P$ חיובית למחצה קיימת $N$ כך ש - $P=N^{*}N$ כאשר $N^{*}$ היא המטריצה הצמודה של $N$. לכן,

$.\det(P)=\det(N)^{2}\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}=\prod _{i=1}^{n}p_{ii}$

כלומר, הדטרמיננטה של מטריצה חיובית למחצה קטן או שווה למכפלת ערכי האלכסון שלה. גם אי-שוויון זה לעיתים מכונה אי-שוויון אדמר.

הוכחה

אם המטריצה $N$ היא מטריצה לא הפיכה ולכן הדטרמיננטה שלה היא $0$ והתוצאה היא מיידית. אם המטריצה $N$ הפיכה ולכן העמודות של $N$ אינן תלויות ליניארית. נסמן ב-$M$ את המטריצה המתקבלת על ידי חלוקת כל עמודה של $N$ באורך שלה. נסמן ב-$e_{i}$, $1\leq i\leq n$, את העמודות של $M$. ידוע לנו כי הן ווקטורי יחידה ואורכן 1. נוכיח תחילה שהמטריצה $M$ מקיימת את טענת המשפט, כלומר, $.\left|\det M\right|\leq 1$

נסמן $P=M^{*}M$ כאשר$M^{*}$ היא המטריצה הצמודה של $M$, ונניח ש-$\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ הם הערכים העצמיים של $P$. מכיוון שאורך כל עמודה של $M$ הוא $1$, כל איבר באלכסון הראשי של $P$ הוא $1$ ולכן העקבה של $P$ היא $n$. ניישם את אי-שוויון הממוצעים ונקבל,

$,\det P=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}\leq {\bigg (}{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\bigg )}^{n}=\left({1 \over n}\operatorname {tr} P\right)^{n}=1^{n}=1$

מכאן נובע מקרה פרטי של המשפט,

$.\left|\det M\right|={\sqrt {\det P}}\leq 1$

התוצאה הכללית נובעת מהמקרה הפרטי:

$.\left|\det N\right|={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|{\bigg )}\left|\det M\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|$

אם יש שוויון אז כל הערכים העצמיים של $P$ שווים וסכומם $n$ ולכן שווים ל-$1$. המטריצה $P$ היא צמודה לעצמה ולכן ניתנת ללכסון, ומכאן שהיא מטריצת היחידה - במילים אחרות העמודות של $M$ הן קבוצה אורתונורמלית והעמודות של $N$ הן קבוצה אורתוגונלית. הוכחות רבות אחרות ניתן למצוא בספרות.

קישורים חיצוניים

• אי-שוויון אדמר, באתר MathWorld (באנגלית)