אלקטרומגנטיות ותורת היחסות הפרטית

תורת היחסות הפרטית ממלאת תפקיד מרכזי בתיאור המודרני של תורת האלקטרומגנטיות. היא מספקת נוסחאות המתארות כיצד אובייקטים אלקטרומגנטיים, בייחוד השדה החשמלי והשדה המגנטי, מותמרים תחת טרנספורמציית לורנץ ממערכת ייחוס אינרציאלית אחת לאחרת. היא שופכת אור על הקשר בין חשמל ומגנטיות בהראותה שלמעשה זוהי מערכת הייחוס שקובעת עד כמה תצפית מסוימת תאתר שדה חשמלי או שדה מגנטי. בכך היא מספקת מוטיבציה לניסוח מודרני קומפקטי ונוח של חוקי האלקטרומגנטיות, דהיינו הצורה הטנזורית של התאוריה.

משוואות מקסוול, כפי שהן נוסחו לראשונה בצורתם השלמה בשנת 1865, התבררו כעולות בקנה אחד, ולמעשה שקולות, לתורת היחסות הפרטית. יותר מכך, ההצטלבויות בתורת מקסוול, שבהן אותו האפקט נמדד כתוצאה של תופעות פיזיקליות שונות בידי צופים שונים, התבררו מאוחר יותר כנטולות סתירות פנימיות לאור המסגרת המושגית החדשה של תורת היחסות הפרטית. למעשה, במחצית ממאמרו המפורסם מ-1905 של אלברט איינשטיין על תורת היחסות הפרטית, "על האלקטרודינמיקה של גופים נעים", מוסבר כיצד להתמיר את משוואות מקסוול בין מערכות ייחוס אינרציאליות שונות.

טרנספורמציה של השדות בין מערכות ייחוס אינרציאליות

השדה החשמלי והמגנטי

התמרת לורנץ של השדה החשמלי של מטען נע. למעלה: המטען במנוחה במערכת F, כך שהצופה בה רואה שדה חשמלי סטטי. צופה במערכת אחרת, 'F, נע במהירות v יחסית ל-F, ורואה את המטען נע במהירות v- עם שדה חשמלי שונה E אודות להתקצרות האורך ועם שדה מגנטי B אודות לתנועה של המטען. למטה: ניסוי מחשבתי דומה, כשהפעם המטען נייח במערכת 'F.

נסתכל על שתי מערכות ייחוס אינרציאליות שונות. המערכת המתויגת נעה ביחס למערכת הלא מתויגת במהירות v. השדות המוגדרים במערכת המתויגת מיוצגים על ידי גרש, בעוד שהשדות במערכת הלא מתויגת חסרים גרש. רכיבי השדות המקבילים למהירות v יסומנו $\mathbf {E} _{\parallel }$ ו-$\mathbf {B} _{\parallel }$, בעוד שההיטלים של השדות על המישור הניצב לכיוון המהירות v יסומנו $\mathbf {E} _{\perp }$ ו-$\mathbf {B} _{\perp }$. השדה החשמלי E והשדה המגנטי B הנמדדים בשתי מערכות הייחוס הללו, הנעות אחת ביחס לשנייה במהירות יחסית v, קשורים זה לזה במערכת המשוואות:

${\begin{aligned}\mathbf {E_{\parallel }} '&=\mathbf {E_{\parallel }} \\\mathbf {B_{\parallel }} '&=\mathbf {B_{\parallel }} \\\mathbf {E_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end{aligned}}$

כאשר

$\gamma \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

הוא פקטור לורנץ ו-c היא מהירות האור בריק.

רכיב רכיב, ובעבור תנועה יחסית $\mathbf {v} =(v,0,0)$, משוואות הטרנספורמציה של השדות מקבלות את הצורה:

${\begin{aligned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}$

אם אחד מהשדות הוא אפס במערכת ייחוס אחת, זה לא אומר בהכרח שהוא אפס בכל מערכות הייחוס האחרות. ניתן לראות זאת, למשל, אם מניחים שהשדה החשמלי במערכת הלא מתויגת הוא אפס אך השדה המגנטי שונה מאפס. במקרה זה, בהינתן אוריינטציה מסוימת של השדה המגנטי, מטען בוחן נייח במערכת המתויגת "יראה" שדה חשמלי, אף על פי שאין שדה חשמלי במערכת הלא מתויגת.

אין פירוש הדבר ששתי קבוצות מאורעות שונות נצפות במערכות ייחוס שונות, אלא שאותה סדרת מאורעות מתוארת בשתי דרכים שונות (ראו גם בעיית המגנט הנע והמוליך).

אם חלקיק בעל מטען q נע במהירות u ביחס למערכת ייחוס S, אז כוח לורנץ השלם במערכת S הוא:

$\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B}$

ובמערכת 'S הוא:

$\mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'}$

כך שיש להיעזר הן בנוסחאות ההתמרה של השדות והן בנוסחאות המתארות חיבור מהירויות יחסותי כדי לחשב את כוח לורנץ השלם בשתי מערכות הייחוס.

הגבול הלא יחסותי

בעבור מהירויות v ≪ c (קטנות בהרבה ממהירות האור) פקטור לורנץ הוא γ ≈ 1, מה שמניב את המשוואות:

$\mathbf {E'} \approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B}$

$\mathbf {B} '\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E}$

הסבר אינטואיטיבי

ננסה להסביר את מקורם של כל אחד מהאיברים בשתי המשוואות האחרונות. נניח שבמערכת הלא מתויגת נמדד בנקודה מסוימת במרחב-זמן (כלומר, במיקום מסוים וברגע מסוים) שדה חשמלי "רוחבי" $\mathbf {E} _{\perp }$. יכולנו להניח יריעת מטען מישורית אינסופית בסמוך לנקודה הזאת, הטעונה בצפיפות משטחית אחידה $\sigma$, באופן כזה שהשדה החשמלי האחיד שהיא תיצור יבטל באופן מושלם את השדה $\mathbf {E} _{\perp }$. ברור שאילו לא פועל שום כוח על מטען בוחן נייח במערכת הלא מתויגת שיוצב בנקודה הזאת (שכן השדה החשמלי בה הוא אפס), אז לא יפעל עליו כוח מנקודת המבט של כל מערכת ייחוס אינרציאלית הנעה ביחס אליה (כלומר הוא לא יאיץ אלא יימצא בתנועה קצובה). עובדה זאת מאפשרת להסיק כי גם במערכת הייחוס המתויגת, השדה החשמלי הרוחבי $\mathbf {E} _{\perp }'$ שנמדד והשדה שיוצרת היריעה, מסתכמים לאפס.

אולם, צופה במערכת המתויגת ייראה את יריעת המטען האינסופית כשהיא מתקצרת בכיוון המהירות היחסית (התקצרות האורך היחסותית) פי $\gamma$, כך שצפיפות המטען המשטחית החדשה תקיים $\sigma '=\gamma \sigma$, ולכן תרומת השדה החשמלי הרוחבי במערכת הלא מתויגת $\mathbf {E} _{\perp }$ לשדה החשמלי הרוחבי במערכת המתויגת $\mathbf {E} _{\perp }'$ היא $\gamma \mathbf {E} _{\perp }$.

עד כאן התמקד הדיון בשדות החשמליים הרוחביים בלבד, ללא השדות המגנטיים הרוחביים. מנקודת המבט של מערכת הייחוס הלא מתויגת, מטען הבוחן (שהוא נייח במערכת הייחוס המתויגת) חווה כוח לורנץ $F=q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$, שכן השדה המגנטי מוגדר להיות כזה שמפעיל כוח רק על מטענים נעים. במערכת הייחוס המתויגת, לעומת זאת, מטען הבוחן מצוי במנוחה, ולפיכך יכול לפעול עליו כוח חשמלי בלבד, כך שהכוח המגנטי הנוסף הפועל על מטען הבוחן במערכת הייחוס הלא מתויגת חייב להיות "מותמר" לכוח ושדה חשמלי במערכת המתויגת. לפי תורת היחסות הפרטית, הקשר בין כוחות ניצבים לתנועה במערכות ייחוס שונות הוא $F'=\gamma F$ (ללא קשר לאופי הכוח), מה שמסביר גם את האיבר השני במשוואה השלישית.

בנוגע לשדה המגנטי הרוחבי $\mathbf {B} _{\perp }'$ במערכת המותמרת, את האיבר השני במשוואה הרביעית ניתן להסביר באמצעות אותו הניסוי המחשבתי שהסביר את האיבר הראשון במשוואה השלישית. נחזור ליריעת המטען המישורית: כתוצאה מהתנועה הנצפית של היריעה במערכת המתויגת, נוצרת יריעת זרם מישורית בעלת צפיפות זרם אחידה, אשר יוצרת שדה מגנטי בניצב לכיוון התנועה היחסית (בכיוון רוחבי). צפיפות המטען המשטחית במערכת המתויגת היא, לפי חוק גאוס, $\sigma '=2\gamma \epsilon _{0}\mathbf {E} _{\perp }$, כך שצפיפות הזרם היא $J=v\sigma '=2\gamma \epsilon _{0}(\mathbf {v} \times \mathbf {E} )$. לפי חוק אמפר, השדה המגנטי שיוצרת יריעת זרם כזאת הוא $\mathbf {B_{\bot }} '={\frac {\mu _{0}J}{2}}=\gamma \epsilon _{0}\mu _{0}(\mathbf {v} \times \mathbf {E} )=\gamma {\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {v} \times \mathbf {E} )$.

מקור האיבר הראשון במשוואה הרביעית הוא מורכב יותר, ויש לעשות חישוב אלגברי כדי להסבירו. נניח שבמערכת הלא מתויגת יש יריעת מטען מישורית הנעה במהירות מסוימת $u$, כך שיריעת הזרם המתקבלת יוצרת שדה מגנטי רוחבי $\mathbf {B} _{\perp }$. נניח שבמקביל לה מוצבת יריעת מטען נייחת בעלת צפיפות מטען משטחית $-\sigma$ (כאן $\sigma$ היא צפיפות המטען במערכת הלא מתויגת) כך שהשדה החשמלי מתאפס בכל המרחב. במערכת המתויגת, הנעה ביחס למערכת הלא מתויגת במהירות v, יריעת המטען החיובית נעה במהירות $u'$ המחושבת בעזרת נוסחאות לחיבור (או חיסור) מהירויות יחסותי, בעוד שיריעת המטען השלילית נעה אחורנית במהירות v. צפיפות המטען המשטחית במערכת העצמית של יריעת המטען החיובית היא $\sigma _{0}={\frac {\sigma }{\gamma (u)}}$, כך שצפיפות המטען החיובי במערכת המתויגת היא $\sigma '=\sigma _{0}\gamma (u')={\frac {\sigma }{\gamma (u)}}\gamma (u')$. ניעזר בנוסחה לחיסור מהירויות יחסותיות:

$u'={\frac {v-u}{1-{\frac {uv}{c^{2}}}}}$

וכך נקבל:

$\sigma '={\frac {\sigma {\sqrt {1-(u/c)^{2}}}}{\sqrt {1-(u'/c)^{2}}}}={\frac {\sigma {\sqrt {1-\beta _{1}^{2}}}}{\sqrt {1-({\frac {\beta _{2}-\beta _{1}}{1-\beta _{1}\beta _{2}}})^{2}}}}$

כאשר $\beta _{1}=u/c,\beta _{2}=v/c$. לא נפרט את האלגברה, אולם לאחר פישוט הביטויים מקבלים:

$\sigma '=\sigma {\frac {(1-\beta _{1}\beta _{2}){\sqrt {1-\beta _{1}^{2}}}}{\sqrt {(1-\beta _{1}^{2})(1-\beta _{2}^{2})}}}=\sigma {\frac {1-\beta _{1}\beta _{2}}{\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}}$

לפיכך, צפיפות הזרם של יריעת המטען החיובית שצופה במערכת המתויגת יראה היא:

$J'_{+}=\sigma 'u'=\sigma c{\frac {1-\beta _{1}\beta _{2}}{\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}}{\frac {\beta _{2}-\beta _{1}}{1-\beta _{1}\beta _{2}}}={\frac {\sigma c(\beta _{2}-\beta _{1})}{\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}}$

בדומה לכך, צפיפות הזרם של יריעת המטען השלילית שצופה במערכת המתויגת יראה תהיה:

$J'_{-}=-{\frac {\sigma v}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=-{\frac {\sigma c\beta _{2}}{\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}}$

ולכן צפיפות הזרם הכוללת שצופה במערכת המתויגת יראה היא:

$J'=J'_{+}+J'_{-}=-{\frac {\sigma c\beta _{1}}{\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}}=-(\sigma u)\gamma (v)=-J\gamma (v)$

כאשר J היא צפיפות הזרם שימדוד צופה במערכת הלא המתויגת. מכיוון שהשדה המגנטי של יריעת זרם אינסופית יחסי לצפיפות הזרם, ניתן לראות שעד כדי סימן, האיבר הראשון במשוואה הרביעית מוסבר במלואו.

השדה החשמלי והמגנטי של מטען נקודתי נע

חוק קולון מתאר במדויק את השדה החשמלי שנוצר על ידי מטען נקודתי נייח; הוא מתאר שדות אלקטרוסטטיים. כאשר אותו מטען נקודתי נמצא בתנועה קצובה (במהירות ובכיוון קבועים), חוק קולון כבר אינו תקף יותר. ניתן להיעזר בטרנספורמציית השדות שתוארה בסעיף הקודם ובטרנספורמציית לורנץ כדי לפתח ביטויים מתמטיים לשדה החשמלי והמגנטי הנוצר על ידי מטען נקודתי נע.

נסתכל על מטען נקודתי נייח q הנמצא בראשית הצירים במערכת ייחוס S, וניקח מערכת ייחוס נוספת 'S שנעה ביחס אליה במהירות קבועה v בכיוון ציר ה-x ואשר ראשית הצירים שלה מתלכדת עם זו של S בזמן t = 0. נגדיר את $\theta$ להיות הזווית בין הכיוון הרדיאלי ${\hat {r}}$ במערכת S לבין כיוון תנועת המטען במערכת 'S (כיוון x). כמו כן נפרק את וקטור השדה החשמלי לשני רכיבים - במקביל ובניצב לתנועת המטען. אזי רכיבי השדה החשמלי במערכת S הם:

$\mathbf {E} _{\parallel }=E_{x}={\frac {kqcos\theta }{r^{2}}}{\hat {x}}$

$\mathbf {E} _{\perp }={\sqrt {E_{y}^{2}+E_{z}^{2}}}={\frac {kqsin\theta }{r^{2}}}$

לפי חוקי הטרנספורמציה של השדה החשמלי שתוארו בסעיף הקודם, השדה החשמלי שימדוד מטען בוחן הנייח במערכת 'S קשור לזה שבמערכת S על ידי:

$\mathbf {E'} _{\parallel }=\mathbf {E} _{\parallel }={\frac {kqcos\theta }{r^{2}}}$

$\mathbf {E'} _{\perp }=\gamma (v)\mathbf {E} _{\perp }={\frac {kqsin\theta }{r^{2}}}\gamma (v)$

מכיוון שברצוננו להביע את עוצמת וכיוון השדה החשמלי ביחס למיקום המטען הנע כפי שנצפה ב-'S, או במילים אחרות לפי המרחק 'r וזווית קו הראייה אל המטען ב-'S (שנסמנה $\theta '$), יש להבין גם כיצד מותמרות קואורדינטות המרחב והזווית $\theta$ במעבר מ-S ל-'S. המרחב "מתקצר" בכיוון התנועה של מערכת הייחוס הנעה (התקצרות האורך), אולם נשמר בכיוונים ניצבים לו, ולכן הקשר בין הזוויות $\theta$ ו-$\theta '$ והמרחקים r ו-'r הוא:

$\mathbb {tan} \theta '=\gamma (v)\mathbb {tan} \theta$

$r'^{2}={\frac {y^{2}+z^{2}}{\mathbb {sin} ^{2}\theta '}}=r^{2}{\frac {sin^{2}\theta }{sin^{2}\theta '}}=r^{2}{\frac {tan^{2}\theta '}{sin^{2}\theta '(tan^{2}\theta '+\gamma ^{2}(v))}}=r^{2}{\frac {1}{sin^{2}\theta '+\gamma ^{2}(v)cos^{2}\theta '}}={\frac {r^{2}(1-\beta ^{2})}{1-\beta ^{2}sin^{2}\theta '}}$

כאשר $\beta =v/c$. נשים לב שגם כיוון השדה החשמלי, שמוגדר על ידי היחס $\mathbb {tan} \alpha ={\frac {\mathbf {E} _{\perp }}{\mathbf {E} _{\parallel }}}$, מותמר באותה צורה. לנקודה זו יש חשיבות רבה, משום שהיא מראה שגם במערכת הייחוס 'S שבה המטען נע, השדה החשמלי שלו הוא רדיאלי, כלומר קווי השדה מכוונים בכל נקודה בכיוון קו הראייה למטען. כדי להביע את עוצמת השדה החשמלי 'E לפי הזווית $\theta '$, פשוט נציב את התוצאות האחרונות:

$\mathbf {E'} ={\sqrt {\mathbf {E'} _{\parallel }^{2}+\mathbf {E'} _{\perp }^{2}}}={\frac {kq}{r^{2}}}{\sqrt {cos^{2}\theta +\gamma ^{2}(v)sin^{2}\theta }}={\frac {kq(1-\beta ^{2})}{r'^{2}(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta ')}}cos\theta {\sqrt {1+\gamma ^{2}(v)tan^{2}\theta }}={\frac {kq(1-\beta ^{2})}{r'^{2}(1-\beta ^{2}sin^{2}\theta ')}}{\frac {cos\theta }{cos\theta '}}$

את היחס ${\frac {cos\theta }{cos\theta '}}$ ניתן להביע בדומה למה שנעשה קודם בחישוב הקשר בין r ל-'r; התוצאה היא: ${\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}sin^{2}\theta '}}}$. לפיכך השדה החשמלי שנוצר על ידי מטען נקודתי נע הוא:

$E'(r',\theta ')={\frac {kq}{r'^{2}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta ')^{3/2}}}{\hat {r}}'$

את השדה המגנטי ניתן להביע להביע בעזרת המשוואה הרביעית מתוך משוואות הטרנספורמציה של השדות. מכיוון שהשדה המגנטי במערכת S הוא אפס, מקבלים שהשדה המגנטי של מטען נקודתי נע הוא:

$B'(r',\theta ')={\frac {kq}{r'^{2}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta ')^{3/2}}}{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {v} \times \mathbf {{\hat {r}}'} )$

ניתן גם לחשב את השטף החשמלי של מטען נע דרך כדור דמיוני שעוטף אותו באמצעות אינטגרל מתאים; התוצאה זהה לזו של מטען חשמלי נייח. עובדה זאת מצביעה על תוקפו הכללי של חוק גאוס, אשר חזק יותר מחוק קולון (אשר כאמור לעיל תקף רק למטענים נייחים). במובן מסוים, חוק גאוס הוא הדרך הטבעית יותר להגדיר את כמות המטען החשמלי הכלוא במעטפת מסוימת, ושמירותו של חוק זה מעידה למעשה על שמירות המטען החשמלי במעבר בין מערכות ייחוס שונות. עובדה זאת אינה צריכה להפתיע, משום שהיא מסבירה מדוע לאטומים נייטרלים חשמלית יש שדה חשמלי ממוצע אפס על אף שהאלקטרונים סובבים במהירות רבה סביב גרעין האטום (כך שיש להם מהירות שונה משל הגרעין).

ראו גם

• תורת היחסות הפרטית