בעיית פניאנו

בגאומטריה, בעיית פניאנו היא בעיית אופטימיזציה שהוצעה ונפתרה לראשונה על ידי המתמטיקאי האיטלקי ג'ובאני פניאנו ב-1775:

משולש העקבים: $\triangle DEF$, משולשים חסומים: $\triangle DEF\,,\triangle GHI$. מתקיים:$|DE|+|EF|+|FD|\leq |GH|+|HI|+|IG|$.

בעבור משולש חד-זווית נתון יש לבנות את המשולש החסום בעל ההיקף המינימלי.

הפתרון הוא משולש העקבים (Orthic triangle), שקודקודיו הם עקבי הגבהים של המשולש הנתון.

פתרון

למשולש העקבים, שקודקודיו הם עקבי הגבהים של המשולש חד-הזווית הנתון, יש ההיקף הקטן ביותר מבין כל המשולשים החסומים במשולש הנתון, ולפיכך זהו פתרון לבעיית פניאנו. ההוכחה המקורית של פניאנו עשתה שימוש בשיטות של קלקולוס ובלמת ביניים שניתנה על ידי אביו ג'וליו פניאנו. מאוחר יותר הוכחות גאומטריות אחרות נתגלו, בין היתר על ידי הרמן שוורץ וליפוט פייר. הוכחות אלו עשו שימוש בתכונות הגאומטריות של שיקופים כדי לקבוע מסלול בעל אורך מינימלי.

עקרונות פיזיקליים

משולש abc הוא משולש העקבים של המשולש ABC.

ניתן לתת פתרון פיזיקלי למחצה לבעיה באמצעות דימוי של מסגרת המשולש החסום $\triangle DEF$ לגומיה מתוחה, ושל הקודקודים $D,E,F$ כמעין חרוזים שיכולים להחליק בחופשיות על מסגרת המשולש החיצוני $\triangle ABC$. מכיוון שהגומיה שואפת למזער את האנרגיה האלסטית שלה ולפיכך גם את אורכה הכולל, שלושת החרוזים יתייצבו במיקומים על היקף המשולש $\triangle ABC$ שמקיימים שהיקף המשולש החסום הוא מינימלי.

במצב שיווי משקל מכני כזה, שקול הכוחות הפועל על כל חרוז חייב להתאפס. כיוון שכך, בכל אחד מקודקודי המשולש החסום מתקיים שסכום שני הווקטורים המייצגים את מתיחות הגומיה לאורך שני הצלעות הנפגשות באותו קודקוד, חייב להיות מאונך לצלע המתאימה של המשולש החיצוני $\triangle ABC$ (שכן מסגרת המשולש $\triangle ABC$ יכולה להפעיל רק כוח נורמלי). מכיוון שמתיחות הגומיה אחידה לאורכה, שני הווקטורים הללו שווים בגודלם, ולפיכך האנכים לצלעות המשולש החיצוני שעוברים דרך קודקודי המשולש החסום בעל ההיקף המינימלי הם בהכרח חוצי הזוויות של המשולש החסום. כלומר, מתקיים (הסימון בשורה הבאה מתייחס לאיור השני):

$\angle bcA=\angle acB,\angle caB=\angle baC,\angle abC=\angle cbA$

חוצי הזוויות הללו נפגשים בנקודה אחת שהיא מרכז המעגל החסום של המשולש $\triangle DEF$. לפי משפט ידוע אחד על משולש העקבים (שהוכחתו לא מובאת כאן) של משולש נתון, נקודת מפגש הגבהים $H$ של משולש מסוים היא גם מרכז המעגל החסום $O$ של משולש העקבים שלו.

לפיכך, כל אחד מהאנכים לצלעות המשולש $\triangle ABC$ העוברים דרך $D,E,F$ עובר גם דרך קודקוד של המשולש החיצוני, כלומר $D,E,F$ הם עקבי הגבהים של המשולש החיצוני, ו - $\triangle DEF$ הוא משולש העקבים של $\triangle ABC$.

ראו גם

• גובה (גאומטריה)

קישורים חיצוניים

• בעיית פניאנו, באתר MathWorld (באנגלית)