עכבה חשמלית

עכבה חשמלית או אימפדנס (באנגלית: impedance) היא התנגדות חשמלית מוכללת. המושג נפוץ במיוחד במשוואות מתמטיות המתארות מעגל חשמלי שבו זורם זרם חילופין. במערכת היחידות הבינלאומית, נמדדות הן העכבה והן ההתנגדות באותן יחידות, האוהם (Ω).

מצב מתמיד סינוסי

באופן כללי, פתרונות המתחים והזרמים במעגל המכיל נגדים, קבלים וסלילים הם פתרונות למשוואה דיפרנציאלית רגילה. ניתן להראות שאם מקורות המתח והזרם במעגל הם סינוסיים בתדירות קבועה, הפתרונות מקבלים צורה הנקראת מצב מתמיד סינוסי (מצב מתמיד במעגל AC), כלומר כל המתחים והזרמים במעגל הם סינוסיים ובעלי אמפליטודה, תדירות ופאזה קבועות.

במצב מתמיד סינוסי, $v(t)\!\$ היא פונקציה סינוסית של הזמן עם אמפליטודה קבועה $V_{\mathrm {p} }\!\$, תדירות קבועה $f\!\$, ופאזה קבועה $\varphi \!\$:

$v(t)=V_{\mathrm {p} }\cos \left(2\pi ft+\varphi \right)=\operatorname {Re} \left(V_{\mathrm {p} }e^{i2\pi ft}e^{i\varphi }\right)$

כאשר:

$i\!\$ היא היחידה המדומה ${\sqrt {-1}}$

$\operatorname {Re} (z)$ נותן את החלק הממשי של המספר המרוכב $z\!\$

הייצוג הפאזורי של $v(t)\!\$ הוא הקבוע המרוכב $V\!\$:

$V=V_{\mathrm {p} }e^{i\varphi }$

במעגל במצב מתמיד סינוסי, לכל המתחים והזרמים במעגל יש ייצוגים פאזוריים בתנאי שכל המקורות המתח והזרם הם באותה התדירות, כך שכל מתח וזרם ניתן לייצוג כמספר מרוכב קבוע. בניתוח מעגל DC, כל מתח וזרם ניתן לייצוג כמספר ממשי. לכן, ניתן לשער שהחוקים שפותחו לניתוח מעגל DC ניתנים ליישום לניתוח מעגל AC על ידי שימוש במספרים מרוכבים במקום מספרים ממשיים.

הגדרה וסימון העכבה החשמלית

עכבות כלליות במעגל ניתנים לסימון בעזרת סימון של נגד או בעזרת קופסה עם תווית.

העכבה של רכיב במעגל מוגדר כיחס בין פאזור המתח הנופל על הרכיב לפאזור הזרם העובר דרך הרכיב:

$Z_{\mathrm {R} }={\frac {V_{\mathrm {r} }}{I_{\mathrm {r} }}}$

אף על פי ש־$Z\!\$ הוא היחס בין שני פאזורים, $Z\!\$ עצמו אינו פאזור, כלומר $Z\!\$ אינו קשור לפונקציה סינוסית כלשהי של הזמן.

במעגלי DC, ההתנגדות מוגדרת על פי חוק אוהם כיחס בין מתח ה־DC הנופל על הנגד לזרם ה־DC דרך הנגד:

$R={\frac {V_{\mathrm {R} }}{I_{\mathrm {R} }}}$

כאשר:

$V_{\mathrm {R} }\!\$ ו־$I_{\mathrm {R} }\!\$ הם ערכי ה־DC (ממשיים)

כלומר הגדרת העכבה מהווה הכללה של חוק אוהם, כאשר את התנגדות הנגד $R\!\$ במעגל ה־DC מחליפים בעכבה שלו $Z_{\mathrm {R} }\!\$ במעגל ה־AC. הכללה זו של חוק אוהם אינה מוגבלת לנגדים, וניתן להשתמש בה גם לקבלים ולסלילים במעגל AC.

כפי שמכלילים את חוק אוהם למעגלי AC בעזרת השימוש בפאזורים, מכלילים גם תוצאות נוספות ממעגלי DC למעגלי AC כמו חלוקת מתח, חלוקת זרם, משפט תבנין ומשפט נורטון.

הגודל ההופכי של התנגדות טהורה נקרא מוליכות. על ידי הכללה דומה למעגלי AC מגדירים שהגודל ההופכי לעכבה נקרא מתירוּת (Admittance – אדמיטנס) וביחידות SI הוא נמדד בסימנס:

$Y=Z^{-1}=1/Z\,$

עכבות של רכיבים

חשוב לשים לב כי העכבה (אימפדנס) של הרכיבים היא במישור התדר ולא במישור הזמן, ניתן למצוא בקלות את העכבה של הרכיבים על ידי התמרת לפלס על המשוואה הדיפרנציאלית המתארת את הרכיב.

העכבה של הרכיב היא פונקציית התמסורת של הרכיב במישור התדר.

ההכפלה במספר המרוכב $i$ (בהנדסה נפוץ הכתיב $j$ כדי לא לבלבל עם זרם) מצביעה על הפרש הפאזה בין המתח לזרם.

נגד

$Z_{\mathrm {resistor} }={\frac {V_{\mathrm {R} }}{I_{\mathrm {R} }}}=R\,$

קבל

$Z_{\mathrm {capacitor} }={\frac {V_{\mathrm {C} }}{I_{\mathrm {C} }}}={\frac {1}{i\omega C}}\ ={\frac {-i}{\omega C}}\,$

הוכחה:

בקבל מתקיים היחס בין הזרם בקבל למתח על פני הקבל $i_{c}=C{\operatorname {d} \!v \over \operatorname {d} \!t}$. כדי למצוא את המתח על פני הקבל כפונקציה של הזמן נקבל $v_{c}(t)={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}i_{c}dt$

כעת נמיר את המשווה למישור התדר בעזרת התמרת לפלס על שני צידי המשוואה ${\displaystyle {\mathcal {L}}(v_{c}(t))=\displaystyle {\mathcal {L}}({\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}i_{c}dt)}$ ונקבל ${\displaystyle V_{c}(S)={{\frac {1}{C}}{\frac {1}{S}}}I_{c}(S)}$ כאשר $S$ הוא מספר מרוכב.

העכבה של הרכיב הוא פונקציית התמסורת שלו ולכן נחלק את שני צידי המשוואה בזרם ונקבל $Z_{\mathrm {capacitor} }(\Omega )={\frac {V_{\mathrm {C} }(S)}{I_{\mathrm {C} }(S)}}={\frac {1}{SC}}$

נקודות חשובות:

1. מכיוון ש־$S$ הוא מספר מרוכב היינו צריכים לקבל את המשוואה $Z_{\mathrm {capacitor} }(\Omega )={\frac {V_{\mathrm {C} }(S)}{I_{\mathrm {C} }(S)}}={\frac {1}{SC}}={\frac {1}{(\sigma +i\omega )C}}$, כאשר $\sigma$ מייצג אקספוננט דועך במישור הזמן. עם זאת, מכיוון שההנחה היא שהמעגל הנידון נמצא במצב יציב מניחים כי $\sigma =0$, ומתקבל $Z_{\mathrm {capacitor} }(\Omega )={\frac {V_{\mathrm {C} }(S)}{I_{\mathrm {C} }(S)}}={\frac {1}{i\omega C}}$
2. חלוקה ב־$i$ שקולה לכפל ב־$i$-, והמסקנה מכאן היא שבקבל הזרם מקדים את המתח.
3. ניתן להסיק ממשוואת העכבה של הקבל שככל שהתדר עולה עכבת הקבל יורדת.

סליל

$Z_{\mathrm {inductor} }={\frac {V_{\mathrm {L} }}{I_{\mathrm {L} }}}=i\omega L\,$

ההוכחה עבור סליל דומה להוכחה של קבל.

היגב

המונח היגב (ריאקטנס) או התנגדות ראקטיבית מתייחס לחלק המדומה של העכבה. להלן מספר דוגמאות:

• עכבת נגד אידיאלי היא $R\!\$ (ההתנגדות שלו) וההיגב שלו הוא $0\!\$.
• עכבת קבל אידיאלי היא $i(-1/\omega C)\!\$ וההיגב שלו הוא $-1/\omega C\!\$.
• עכבת סליל אידיאלי היא $i\omega L\!\$ וההיגב שלו הוא $\omega L\!\$.

העכבה של קבל או סליל תלוי בתדירות $\omega \!\$ והוא גודל מדומה, אבל מהווה תופעה פיזיקלית אמיתית של הפרש פאזה בין הפאזורים של המתח והזרם כתוצאה מנוכחות הקבל או הסליל. לעומת זאת העכבה של הנגד הוא קבוע וממשי חיובי, ולכן אינו גורם להפרש פאזה בין הפאזורים של המתח והזרם.

כאשר נגדים, קבלים וסלילים משולבים במעגל AC, ניתן לחבר את עכבות הרכיבים באותו אופן שמחברים התנגדויות במעגל DC. העכבה השקולה המתקבלת היא באופן כללי גודל מרוכב, כלומר יש לה חלק ממשי וחלק מדומה. מסמנים את העכבה השקולה באופן הבא:

$Z_{\mathrm {eq} }=R_{\mathrm {eq} }+iX_{\mathrm {eq} }\!\$

כאשר:

$R_{\mathrm {eq} }\!\$ נקרא החלק ההתנגדותי של העכבה.

$X_{\mathrm {eq} }\!\$ נקרא החלק הריאקטיבי של העכבה.

מקובל להתייחס לקבל או לסליל כרכיב ריאקטיבי. עכבת קבל היא מספר מדומה שלילי בעוד שעכבת סליל היא מספר מדומה חיובי. רכיב ריאקטיבי צורך אנרגיה מהמעגל ומחזיר אנרגיה למעגל לחלופין, ולכן בניגוד לנגד אינו צורך הספק.

ניתן לקבוע את התנהגותו של הקבל בתדירויות קיצוניות. כשהתדירות מתקרבת לאפס, היגב הקבל גדל ללא גבול כך שהקבל מתנהג כמו נתק במעגל העובד בתדירויות נמוכות מאוד של מקורות סינוסיים. ככל שהתדירות גדלה, היגב הקבל מתקרב לאפס כך שהקבל מתנהג כמו קצר במעגל העובד בתדירויות גבוהות מאוד של מקורות סינוסיים.

לעומת זאת, התנהגותו של הסליל הפוכה בתדירויות קיצוניות. כשהתדירות מתקרבת לאפס, היגב הסליל מתקרב לאפס כך שהסליל מתנהג כמו קצר במעגל העובד בתדירויות נמוכות מאוד של מקורות סינוסיים. ככל שהתדירות גדלה, היגב הסליל גדל ללא גבול כך שהסליל מתנהג כמו נתק במעגל העובד בתדירויות גבוהות מאוד של מקורות סינוסיים.

חיבור עכבות

חיבור עכבות בטור או במקביל הוא כמו בנגדים, כשההבדל הוא שבחיבור עכבות יש לטפל במספרים מרוכבים.

בטור

חיבור עכבות בטור הוא פשוט:

$Z_{\mathrm {eq} }=Z_{1}+Z_{2}=(R_{1}+R_{2})+i(X_{1}+X_{2})\!\$

במקביל

חיבור עכבות במקביל מסובך בהרבה מחיבור תכונות פשוטות כמו התנגדות או קיבול עקב גורם המכפלה.

$Z_{\mathrm {eq} }=Z_{1}\|Z_{2}=\left({Z_{\mathrm {1} }}^{-1}+{Z_{\mathrm {2} }}^{-1}\right)^{-1}={\frac {Z_{\mathrm {1} }Z_{\mathrm {2} }}{Z_{\mathrm {1} }+Z_{\mathrm {2} }}}\!\$

העכבה המתקבל הוא: $Z_{\mathrm {eq} }=R_{\mathrm {eq} }+iX_{\mathrm {eq} }\!\$
כאשר:

$R_{\mathrm {eq} }={(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(X_{1}+X_{2})+(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(R_{1}+R_{2}) \over (R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}$

$X_{\mathrm {eq} }={(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(X_{1}+X_{2}) \over (R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}$

עכבה אופיינית

דיאגרמת סמית, המשמשת למיון של ערכי עכבה אופיינית במישור המרוכב, ומקשרת בין העכבה לגדלים קשורים כמו מקדמי החזרה ופיזור ויחס גלים עומדים.

ערך מורחב – עכבה אופיינית

עבור קווי תמסורת במערכות מפולגות מגדירים עכבה אופיינית, שהיא היחס בין משרעת המתח בין שני הדקי קו תמסורת לבין משרעת הזרם הזורם בו באופן מקומי. עכבה אופיינית מאפיינת את מבנה קו התמסורת, ואינה תלויה באורכו. גם גלים אלקטרומגנטיים או גלי קול המתפשטים בתווך ניתן לתאר כמעגל חשמלי, ואז מוגדרת עבור התווך עכבה אופיינית.

מעגלים עם מקורות כלליים

עכבה מוגדרת על ידי היחס בין שני פאזורים כשפאזור מוגדר על פונקציה סינוסית של הזמן. עבור מקורות מחזוריים כלליים ואפילו מקורות לא מחזוריים, עדיין ניתן להשתמש במושג העכבה. ניתן להראות שכמעט כל הפונקציות המחזוריות בזמן ניתנות לייצוג על ידי טור פורייה. לכן, ניתן לחשוב על מקור מתח מחזורי כלשהו כצירוף, אולי אינסופי, של מקורות מתח סינוסיים בטור. באופן דומה, ניתן לחשוב על מקור זרם מחזורי כלשהו כצירוף, אולי אינסופי, של מקורות זרם סינוסיים במקביל.

תוך שימוש בשיטת הסופרפוזיציה, כל מקור מופעל בנפרד ומוצאים פתרון של מעגל ה־AC בעזרת העכבות המחושבות עבור תדירות המקור המופעל. הפתרונות של המתחים והזרמים של המקור שהופיע במעגל המקורי מחושבים כסכומים של הפתרונות שחושבו לכל אחד מהמקורות המרכיבים אותו. עם זאת למתחים ולזרמים האמיתיים במעגל המקורי אין ייצוג פאזורי. ניתן לחבר פאזורים רק כאשר כל אחד מהם מייצג פונקציה בזמן בעלת אותה תדירות. לכן, יש להחזיר את פאזורי המתח והזרם שחושבו עבור כל מקור בנפרד לייצוג שלהם בתחום הזמן לפני ביצוע הסכימה הסופית.

שיטה זו ניתנת להכללה למקורות לא מחזוריים כאשר את הסכומים הבדידים מחליפים אינטגרלים. כלומר, את טור פורייה מחליפה התמרת פורייה.

גודל ופאזה של עכבה

מספרים מרוכבים מיוצגים בדרך כלל בשתי צורות. ההצגה הקרטזית היא פשוט הסכום של החלק הממשי עם מכפלת החלק המדומה ב־$i$:

$Z=R+iX\!\$

ההצגה הקוטבית של מספר מרוכב היא הגודל הממשי של המספר מוכפל בפאזה המרוכבת. ניתן לכתוב זאת בעזרת אקספוננט, או בייצוג פאזורי:

$Z=\left|Z\right|e^{i\varphi }=\left|Z\right|\angle \varphi$

כאשר:

$\left|Z\right|={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}={\sqrt {ZZ^{*}}}$ הוא הגודל של $Z\!\$ ($Z^{*}\!\$ מציין את הצמוד המרוכב של $Z\!\$)

$\varphi =\arctan {\bigg (}{\frac {X}{R}}{\bigg )}$ היא הזווית.

במקרים שונים נוח להתייחס לצורה הקוטבית, למשל בעקומת בודה.

פאזור שיא מול פאזור שורש הממוצע הריבועי

למתח או זרם סינוסי יש ערך שיא של האמפליטודה ובנוסף ממוצע RMS. ניתן להראות שערך ה־RMS של המתח או הזרם הסינוסי נתון על ידי:

$V_{\mathrm {rms} }={\frac {V_{\mathrm {peak} }}{\sqrt {2}}}$

$I_{\mathrm {rms} }={\frac {I_{\mathrm {peak} }}{\sqrt {2}}}$

במקרים רבים של ניתוח AC, ערך ה־RMS של סינוסואידה מועיל יותר מאשר ערך השיא. לדוגמה, לקביעת כמות ההספק הנצרך על ידי נגד שזורם דרכו זרם סינוסי, יש לדעת את ערך ה־RMS של הזרם. מסיבה זו, לעיתים מציינים את פאזורי ה־RMS של מקורות מתח וזרם סינוסיים במקום את פאזורי השיא. באופן כללי משתמשים בפאזורי RMS בהנדסת הספק חשמלי בעוד שמשתמשים בפאזורי שיא בניתוח מעגלים בעלי הספק נמוך.

בכל מקרה, העכבה תהיה זהה לכל בחירת פאזור. בין אם משתמשים בפאזורי שיא או RMS, הגורם הקבוע שמבדיל בין הפאזורים מתבטל כאשר נלקח היחס בין הפאזורים.

ראו גם

• מדידות עכבה חשמלית (אלקטרוכימיה)
• התנגדות חשמלית וחוק אוהם
• זרם חילופין ופאזור
• אדמיטנס
• עכבה אופיינית

לקריאה נוספת

• Pohl R. W., Electrizitätslehre, Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1960
• Popov V. P., The Principles of Theory of Circuits, – M.: Higher School, 1985, 496 p (רוסית)
• Küpfmüller K., Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959

קישורים חיצוניים

• הסבר על עכבה (באנגלית)
• עכבה חשמלית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)