התפלגות רב-נורמלית

בתורת ההסתברות, התפלגות רב-נורמלית, או התפלגות גאוסיאנית רב-ממדית (באנגלית: Multivariate normal distribution) היא הכללה של התפלגות נורמלית למשתנים מקריים רב-ממדיים. היא מוגדרת בתור וקטור משתנים מקריים, שכל צירוף ליניארי שלו מתפלג נורמלית. ישנה גם הגדרה (כללית יותר) בשפה של פונקציות אופייניות (הקובעת את המשתנה).

התפלגות רב-נורמלית

פונקציית צפיפות ההסתברות
מאפיינים
פרמטרים	μ ∈ Rk פרמטר מרכז Σ ∈ Rk × k מטריצת שונות משותפת מטריצה חיובית
תומך	x ∈ Rk
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}}e^{-({\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}))}$
תוחלת	${\boldsymbol {\mu }}$
ערך שכיח	${\boldsymbol {\mu }}$
שונות	$\ \Sigma$
אנטרופיה	${\frac {k}{2}}\log {\mathord {\left(2\pi \mathrm {e} \right)}}+{\frac {1}{2}}\log |{\boldsymbol {\Sigma }}|$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\exp \!{\Big (}{\boldsymbol {\mu }}^{\mathrm {T} }\mathbf {t} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )}$
פונקציה אופיינית	$\exp \!{\Big (}i{\boldsymbol {\mu }}^{\mathrm {T} }\mathbf {t} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )}$

להתפלגות רב-נורמלית מספר שימושים, כגון הוכחת טענות על התפלגות הממוצע וסטיית התקן של משתנים מקריים שווי התפלגות נורמלית; טענות אלו שימושיות במיוחד בסטטיסטיקה. ניתן גם לנסח את משפט הגבול המרכזי בגרסה רב-ממדית בעזרת התפלגות רב-נורמלית.

הגדרה

יהי $X=(X_{1},\dots ,X_{n})$ וקטור משתנים מקריים ממשיים. נאמר ש-$X$ מתפלג רב-נורמלית (או גאוסיאנית) אם לכל $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ המשתנה המקרי (החד־ממדי) $\langle {\bar {a}},{\bar {X}}\rangle =a_{1}X_{1}+\dots +a_{n}X_{n}$ מתפלג נורמלית, כלומר קיימים $\mu ,\sigma$ (תלויים ב-$a_{i}$) כך ש-$\langle {\bar {a}},{\bar {X}}\rangle \sim N(\mu ,\sigma ^{2})$.

אם $X$ משתנה רב-נורמלי, מסמנים $X\sim N({\bar {\mu }},\Sigma )$. ${\bar {\mu }}$ הוא וקטור התוחלות, כלומר

${\boldsymbol {\mu }}=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]=(\operatorname {E} [X_{1}],\operatorname {E} [X_{2}],\ldots ,\operatorname {E} [X_{k}])^{\mathrm {T} }$

ו-$\Sigma$ היא מטריצת השונות משותפת

$\Sigma _{i,j}=\operatorname {E} [(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})]=\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]$

כאשר $1\leq i,j\leq k$.

תכונות

הפונקציה האופיינית

ניתן לאפיין את המשתנים המקריים הגאוסיאניים בעזרת הפונקציה האופיינית שלהם: וקטור משתנים מקריים הוא גאוסיאני אם ורק אם הוא בעל פונקציה אופיינית:

$$\varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {u} )=\exp {\Big (}i\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\mu }}-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {u} {\Big )}.$$ כאשר מטריצה השונות $\Sigma$ היא חיובית.

בפרט, נובע שהמשתנים המקריים בלתי מתואמים אם ורק אם הם בלתי תלויים (מה שאינו נכון באופן כללי).

לכסון

לכל משתנה מקרי רב-נורמלי $X$ קיימים משתנה מקרי $Y$ ומטריצה אורתוגונלית $A$ כך ש-$X={\bar {\mu }}+YA$, כאשר $Y_{i}\sim N(0,\lambda _{i})$ ו-$\lambda _{i}$ הם הערכים עצמיים של $\Sigma$ (מטריצת השונויות המשותפות).

בכיוון ההפוך, לכל משתנה מקרי רב-נורמלי $X$ ולכל מטריצה אורתוגונלית $A$, המשתנה המקרי $AX$ גם הוא רב נורמלי: $Y\sim N(A\mu ,\Sigma )$.

כדי להוכיח משפט זה, יש להפעיל לכסון אורתוגונלי על $\Sigma$ (בפרט, המטריצה $A$ נבחרת להיות המטריצה המלכסנת).

פונקציית צפיפות

כאשר מטריצת השונות $\Sigma$ איננה מטריצה סינגולרית - כלומר כל ערכיה העצמיים $\lambda _{i}$ שונים מאפס, למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות, הנתונה על ידי הנוסחא:

$f_{X}({\bar {x}})={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}|\Sigma |}}}e^{-{\frac {1}{2}}({\bar {x}}-{\bar {\mu }})^{T}{\Sigma }^{-1}({\bar {x}}-{{\bar {\mu }})}}$

כאשר $|\Sigma |=\det(\Sigma )$ מסמן את הדטרמיננטה של $\Sigma$.

התפלגויות שוליות

למציאת ההתפלגות השולית של משתנים מקריים המתפלגים רב-נורמלית, מספיק להשמיט את המשתנים הלא-רלוונטיים (המשתנים שיש לבצע עליהם אינטגרציה) מווקטור התוחלת ${\boldsymbol {\mu }}$ וממטריצת השונות ${\boldsymbol {\Sigma }}$. ההוכחה לכך נובעת מההגדרה של ההתפלגות הרב-נורמלית ומאלגברה ליניארית.

דוגמה

יהי $\mathbf {X} =[X_{1},X_{2},X_{3}]$ ווקטור מקרי רב-נורמלי עם ווקטור תוחלת ${\boldsymbol {\mu }}=[\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}]$ ומטריצת שונות ${\boldsymbol {\Sigma }}$. ההתפלגות השולית של $\mathbf {X} '=[X_{1},X_{3}]$ היא התפלגות רב-נורמלית עם וקטור תוחלת ${\boldsymbol {\mu }}'=[\mu _{1},\mu _{3}]$ ומטריצת שונות ${\boldsymbol {\Sigma }}'={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{13}\\{\boldsymbol {\Sigma }}_{31}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{33}\end{bmatrix}}$.

התפלגות רב-נורמלית סינגולרית

בדרך כלל מניחים כי מטריצת השונויות $\Sigma$ איננה מטריצה סינגולרית. כאמור, במקרה זה למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות.

עם זאת, כאשר מורידים את ההנחה האחרונה (כלומר, יש ערכים עצמיים אפס), מתקבל משתנה מקרי רב-נורמלי סינגולרי. ההגדרה בעזרת הפונקציה האופיינית היא כללית יותר (כלומר, תקפה גם במקרה הסינגולרי). במקרה זה אין פונקציית צפיפות (ביחס למידת לבג) - ערכיה של פונקציית הצפיפות ייקבעו על ידי פחות מ-$n$ משתנים, ואינטגרל של פונקציה כזו הוא אפס ולא 1, כנדרש מפונקציית צפיפות.

בכל זאת, ניתן להגדיר מידות אחרות (על תת-מרחב $\operatorname {rank} (\Sigma )$-ממדי של $\mathbb {R} ^{n}$) ואז מוגדרת פונקציית צפיפות עבור משתנה מקרי ביחס למידה החדשה.

יישומים

אם $X_{1},X_{2},\dots$ משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים $N(0,1)$, נסמן ${\bar {X}}_{n}={\frac {X_{1}+\dots +X_{n}}{n}}$ ו-$S_{n}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{(X_{i}-{\bar {X}}_{n})^{2}}$. אז מתקיים:

${\bar {X}}_{n}/{\sqrt {\frac {S_{n}}{n}}}\sim t_{n-1}$, כלומר מתפלג סטודנט עם $n-1$ דרגות חופש.

קישורים חיצוניים

• התפלגות רב-נורמלית, באתר MathWorld (באנגלית)