הפונקציה האופיינית של משתנה אקראי
X
{\displaystyle X}
פונקציה מרוכבת המוגדרת כתוחלת של
e
i
t
X
{\displaystyle e^{itX}}
i
{\displaystyle i}
t
{\displaystyle t}
מספר ממשי שמהווה את המשתנה של הפונקציה האופיינית:
φ
X
(
t
)
=
E
[
e
i
t
X
]
=
∫
−
∞
∞
e
i
t
X
f
X
(
x
)
d
x
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} [\,e^{itX}\,]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itX}f_{X}(x)\,dx}
בחישוב התוחלת כאינטגרל , הפונקציה האופיינית מתקבלת כצמוד של התמרת פורייה של פונקציית צפיפות ההסתברות[ 1]
לפונקציה האופיינית קשר פשוט לפונקציה יוצרת המומנטים (אם מרחיבים את תחום ההגדרה שלה למרוכבים):[ 2]
φ
X
(
−
i
t
)
=
M
X
(
t
)
{\displaystyle \varphi _{X}(-it)=M_{X}(t)}
בניגוד לפונקציה יוצרת מומנטים, הפונקציה האופיינית תמיד קיימת וממנה ניתן לקבל את פונקציית צפיפות ההסתברות ואת המומנטים או להסיק על אי קיומם.
הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי ממשי תמיד קיימת מכיוון שהיא אינטגרל של פונקציה חסומה ורציפה על מרחב שהמידה שלו סופית.
פונקציה אופיינית היא פונקציה רציפה במידה שווה בכל המרחב.
פונקציה אופיינית אינה מתאפסת בסביבת הנקודה אפס, שכן מההגדרה
φ
(
0
)
=
1
{\displaystyle \varphi (0)=1}
פונקציה אופיינית היא הרמיטית :
φ
(
t
)
=
φ
(
−
t
)
{\displaystyle \varphi (t)=\varphi (-t)}
זוגית .
קיים יחס חד-חד ערכי בין התפלגויות הסתברות לבין פונקציות אופייניות. כלומר לשני משתנים מקריים
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
φ
X
1
=
φ
X
2
{\displaystyle \varphi _{X_{1}}=\varphi _{X_{2}}}
אם המומנטים של משתנה מקרי
X
{\displaystyle X}
k
{\displaystyle k}
φ
X
{\displaystyle \varphi _{X}}
k
{\displaystyle k}
הישר הממשי . במקרה זה:
E
[
X
k
]
=
i
−
k
φ
X
(
k
)
(
0
)
{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=i^{-k}\varphi _{X}^{(k)}(0)}
אם הנגזרת ה־
k
{\displaystyle k}
φ
X
{\displaystyle \varphi _{X}}
X
{\displaystyle X}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
k
−
1
{\displaystyle k-1}
k
{\displaystyle k}
[ 2]
φ
X
(
k
)
(
0
)
=
i
k
E
[
X
k
]
{\displaystyle \varphi _{X}^{(k)}(0)=i^{k}\operatorname {E} [X^{k}]}
הפונקציה האופיינית של סכום של שני משתנים אקראיים בלתי תלויים סטטיסטית היא מכפלת הפונקציות האופייניות שלהם:
φ
X
+
Y
(
t
)
=
E
(
e
i
t
(
X
+
Y
)
)
=
E
(
e
i
t
X
e
i
t
Y
)
=
E
(
e
i
t
X
)
E
(
e
i
t
Y
)
=
φ
X
(
t
)
φ
Y
(
t
)
{\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}
יהי
Y
=
a
X
+
b
{\displaystyle Y=aX+b}
טרנספורמציה ליניארית של
X
{\displaystyle X}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Y
{\displaystyle Y}
φ
Y
(
t
)
=
e
i
t
b
φ
X
(
a
t
)
{\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{itb}\varphi _{X}(at)}
עבור וקטורים מקריים
X
{\displaystyle X}
Y
=
A
X
+
B
{\displaystyle Y=AX+B}
A
{\displaystyle A}
מטריצה קבועה ו־
B
{\displaystyle B}
φ
Y
(
t
)
=
e
i
t
⊤
B
φ
X
(
A
⊤
t
)
{\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{it^{\top }B}\varphi _{X}(A^{\top }t)}
[ 3]
התפלגות
הפונקציה האופיינית
התפלגות מנוונת
δ
a
{\displaystyle \delta _{a}}
e
i
t
a
{\displaystyle \,e^{ita}}
התפלגות בינומית
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle B(n,p)}
(
1
−
p
+
p
e
i
t
)
n
{\displaystyle \,(1-p+pe^{it})^{n}}
התפלגות פואסון
Pois
(
λ
)
{\displaystyle {\text{Pois}}(\lambda )}
e
λ
(
e
i
t
−
1
)
{\displaystyle \,e^{\lambda (e^{it}-1)}}
התפלגות אחידה רציפה
U
(
a
,
b
)
{\displaystyle U(a,b)}
e
i
t
b
−
e
i
t
a
i
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle \,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}
התפלגות אחידה בדידה
D
U
(
a
,
b
)
{\displaystyle DU(a,b)}
e
i
t
a
−
e
i
t
(
b
+
1
)
(
1
−
e
i
t
)
(
b
−
a
+
1
)
{\displaystyle {\frac {e^{ita}-e^{it(b+1)}}{(1-e^{it})(b-a+1)}}}
התפלגות נורמלית
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}
e
i
t
μ
−
1
2
σ
2
t
2
{\displaystyle \,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}
התפלגות כי בריבוע
X
k
2
{\displaystyle X_{k}^{2}}
(
1
−
2
i
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle \,(1-2it)^{-k/2}}
התפלגות קושי
C
(
μ
,
θ
)
{\displaystyle C(\mu ,\theta )}
e
i
x
0
t
−
γ
|
t
|
{\displaystyle \,e^{ix_{0}t-\gamma |t|}}
התפלגות מעריכית
Exp
(
λ
)
{\displaystyle {\text{Exp}}(\lambda )}
(
1
−
i
t
λ
−
1
)
−
1
{\displaystyle \,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}}
התפלגות לפלס
L
(
μ
,
b
)
{\displaystyle L(\mu ,b)}
e
i
t
μ
1
+
b
2
t
2
{\displaystyle {\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}}
התפלגות ברנולי
Bern
(
p
)
{\displaystyle {\text{Bern}}(p)}
1
−
p
+
p
e
i
t
{\displaystyle 1-p+pe^{it}}
עריכה
פונקציות אופייניות שימושיות במיוחד לטיפול בפונקציות ליניאריות של משתנים אקראיים בלתי תלויים. לדוגמה, אם
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}
S
n
=
∑
i
=
1
n
a
i
X
i
,
{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},\,\!}
כאשר
a
i
{\displaystyle a_{i}}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
φ
S
n
(
t
)
=
φ
X
1
(
a
1
t
)
φ
X
2
(
a
2
t
)
⋯
φ
X
n
(
a
n
t
)
{\displaystyle \varphi _{S_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\varphi _{X_{2}}(a_{2}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t)\,\!}
בפרט, עבור שני משתנים מקריים בלתי תלויים
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
φ
X
+
Y
(
t
)
=
φ
X
(
t
)
φ
Y
(
t
)
{\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}
φ
X
+
Y
(
t
)
=
E
[
e
i
t
(
X
+
Y
)
]
=
E
[
e
i
t
X
e
i
t
Y
]
=
E
[
e
i
t
X
]
E
[
e
i
t
Y
]
=
φ
X
(
t
)
φ
Y
(
t
)
{\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left[e^{it(X+Y)}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}e^{itY}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right]\operatorname {E} \left[e^{itY}\right]=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}
אי התלות של
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
מקרה פרטי חשוב הוא כאשר
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}
משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות וכאשר
a
i
=
1
/
n
{\displaystyle a_{i}=1/n}
X
¯
{\displaystyle {\overline {X}}}
n
{\displaystyle n}
X
¯
{\displaystyle {\overline {X}}}
φ
X
¯
(
t
)
=
φ
X
(
t
n
)
n
{\displaystyle \varphi _{\overline {X}}(t)=\varphi _{X}\!\left({\tfrac {t}{n}}\right)^{n}}
ניתן להשתמש בפונקציה האופיינית כדי לחשב את המומנטים של משתנה מקרי. בהנחה שהמומנט ה-n קיים
E
[
X
n
]
=
i
−
n
[
d
n
d
t
n
φ
X
(
t
)
]
t
=
0
=
i
−
n
φ
X
(
n
)
(
0
)
,
{\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=i^{-n}\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-n}\varphi _{X}^{(n)}(0),\!}
^ Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon, Statistical and Adaptive Signal Processing: Spectral Estimation, Signal Modeling, Adaptive Filtering, and Array Processing 978-1-58053-610-3 (באנגלית)
^ 1 2 Lukacs, E, Characteristic functions , London: Griffin, 1970
^ "Joint characteristic function" . www.statlect.com . נבדק ב-7 באפריל 2018 .
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} [\,e^{itX}\,]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itX}f_{X}(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adc62953c9189c3be7a283d076736fff7d03afe)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=i^{-k}\varphi _{X}^{(k)}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da105b6b17f8f03fcb6ffe2bbdd6eed2fcb0d112)
![{\displaystyle \varphi _{X}^{(k)}(0)=i^{k}\operatorname {E} [X^{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/278511590ecd7122a91abb28362f99a9783231c7)
![{\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left[e^{it(X+Y)}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}e^{itY}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right]\operatorname {E} \left[e^{itY}\right]=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2f8a4335407b6acbee44bfd54d8c5c2e59b1d5)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=i^{-n}\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-n}\varphi _{X}^{(n)}(0),\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b7e821b95332b9aa377186801428897738295f)