זהות אוילר

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, זהות אוילר, הקרויה על שמו של המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר, היא השוויון הבא:

זהות אוילר

$e^{i\pi }+1=0\,\!$

כל איברי הזהות הם מספרים קבועים:

• e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי.
• π הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו.
• i הוא היחידה המדומה שמקיימת: $i^{2}=-1\;\!$

זהות אוילר בניסוח זה מעולם לא פורסמה על ידי אוילר עצמו, והיא קרויה על שמו שכן היא תוצאה ישירה של נוסחת אוילר (ראו להלן).

הוכחה

ניתן להוכיח את הזהות על ידי הצבת $\ x=\pi$ בנוסחת אוילר:

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi$
$e^{i\pi }=-1$
$e^{i\pi }+1=0$

כלומר, לאחר ההבנה כי הסינוס של פאי שווה לאפס, וכי הקוסינוס של פאי שווה למינוס אחת, מתקבלת זהות אוילר.

יופי מתמטי

זהות אוילר נחשבת בעיני רבים כזהות יוצאת דופן בשל יופייה המתמטי, הנובע מהפעולות הבסיסיות שהיא משלבת בתוכה (חיבור, כפל והעלאה בחזקה) ומהקבועים המתמטיים הבסיסיים שהיא מקשרת ביניהם:

• e הוא מספר אי רציונלי (ואף טרנסצנדנטי) המופיע באינספור הקשרים שונים באנליזה מתמטית ובתחומים משיקים. ספרותיו הראשונות בבסיס עשרוני הן ...2.71828
• π הוא מספר אי רציונלי (ואף טרנסצנדנטי) המופיע גם הוא באינספור הקשרים בגאומטריה, אנליזה מתמטית ותחומים משיקים. ספרותיו הראשונות בבסיס עשרוני הן ...3.14159
• i הוא היחידה המדומה, הוא אחד משני השורשים הריבועיים של הפולינום $x^{2}+1=0$ (השני הוא -i).
• 1 הוא מספר טבעי המשמש כאיבר היחידה של כפל מספרים.
• 0 הוא מספר טבעי המשמש כאיבר האפס של חיבור מספרים.

עדות ליופי שרבים מייחסים לזהות ניתן לראות בכך שבמשאל קוראים שערך כתב העת "Physics World" בין קוראיו היא הגיעה למקום הראשון, יחד עם משוואות מקסוול.

הכללות

מנוסחת אוילר נובע ששורשי היחידה מסדר n הם המספרים מהצורה $e^{2\pi ik/n}$ לכל $k=0,\ldots ,n-1$. סכום שורשי היחידה הוא תמיד 0:

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0$

טענה זו ניתן להוכיח בדרכים רבות, למשל דרך ההבחנה שסכום שורשי היחידה הוא המקדם של $x^{n-1}$ בפולינום:

$x^{n}-1=\prod _{k=0}^{n-1}(x-e^{2\pi ik/n})$

הצבה של n=2 בסכום נותנת את זהות אוילר.

את נוסחת אוילר ניתן להכליל גם לקווטרניונים, אז מקבלים זהות אוילר מוכללת:

$e^{(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k)\pi }+1=0$

לכל $a_{1},a_{2},a_{3}$ ממשיים המקיימים ${a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}=1$.

ראו גם

• זהויות טריגונומטריות

לקריאה נוספת

• רוברט פ' קריז, המשוואות הגדולות - פריצות דרך במדע מפיתגורס עד הייזנברג, כתר ספרים, 2008, עמ' 91–112.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא זהות אוילר בוויקישיתוף

• גדי אלכסנדרוביץ', נוסחת אוילר, ואיך היא קשורה למתנד הרמוני, באתר "לא מדויק", 6 באפריל 2010