טטרציה
![]() בערך זה |
במתמטיקה, טֶטְרָצְיָה (באנגלית: Tetration או Hyper-4) היא פעולה, המתבצעת בין שני מספרים: ה"בסיס" וה"גובה". טטרציה מסמנים בסימון או כאשר הוא הבסיס ו- הוא הגובה. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא מספר ממשי והגובה הוא מספר טבעי, טטרציה מהווה קיצור של מגדל חזקות מחזורי; כלומר - הטטרציה ה-־ית של היא החזקה החוזרת של b גורמים השווים כולם ל-a:
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/9/99/Real-tetration.png/110px-Real-tetration.png)
ניתן גם להגדיר טטרציה רקורסיבית באופן הבא:
מבוא
עריכהארבעת ההיפר-פעולות הראשונות מוצגות מטה, כשטטרציה נחשבת להיפר-פעולה הרביעית. הפעולה האונארית עקיבה (אנ'), המוגדרת כ- נחשבת להיפר-פעולה האפס.
יש לשים לב כי החזקה אינה פעולה אסוציאטיבית וכי היא מחושבת מלמעלה למטה. כלומר, משמעותו ולא .
תכונות
עריכה- כיוון שחזקה אינה פעולה קומוטטיבית, כך גם טטרציה אינה קומוטטיבית: הטענות ו אינן נכונות ברוב המקרים.[1]
- בנוסף, טטרציה גם אינה פעולה אסוציאטיבית. כלומר, הטענה אינה נכונה ברוב המקרים. כיווניות החישוב הנכונה היא מלמעלה למטה.
- בדומה לחזקה, מתקיים כי ו
- מההגדרה הרקורסיבית של טטרציה מתקבלת התכונה הבאה:
- ממהגדרה למעלה נובע כי: מה שמאפשר את החלפת המשתנים b ו-c במשוואות. ההוכחה לתכונה זו היא:
הכללות
עריכהאת פעולת הטטרציה ניתן להרחיב בשתי דרכים שונות; גם את הבסיס, וגם את הגובה ניתן להכליל מעבר למספרים הטבעיים על ידי שימוש בהגדרת ובתכונות הטטרציה.
הכללת הבסיס
עריכהבסיס אפס
עריכההחזקה אינה מוגדרת. ולכן, גם טטרציות מהצורה אינן מוגדרות כראוי. למרות זאת, הגבול מוגדר וקיים:[2]
ולכן, ניתן להגדיר כי
בסיס מרוכב
עריכהמאחר שניתן לעלות מספרים מרוכבים בחזקה, אז ניתן גם להפעיל טטרציה על בסיס מהצורה .
לדוגמה, עבור כאשר , ניתן באמצעות נוסחת אוילר להראות כי:
ולכן ניתן להגדיר בצורה רקורסיבית את באמצעות :
הכללת הגובה
עריכהגובה אינסופי
עריכהניתן להכליל את הטטרציה לגבהים אינסופיים. כלומר, עבור בסיס x כלשהו, קיים הגבול . זאת כיוון שבטווח מסוים של בסיסים, הטטרציה מתכנסת למספר סופי כש-n שואף לאינסוף.
לדוגמה, מתכנס ל-2, ולכן ניתן לומר כי הוא שווה ל-2.
את מגמת ההתקרבות לגבול 2 ניתן לראות גם על ידי חישוב גובה קטן:
לאונרד אוילר הראה כי באופן כללי, מגדל החזקות האינסופי מתכנס עבור .
גובה שלילי שלם
עריכהבאמצעות ההגדרה הרקורסיבית של טטרציה:
ניתן למצוא את :
אם במקום k נציב -1 נקבל:
ערכים שליליים הקטנים מ-1 לא ניתן להגדיר באופן זה, אם נציב -2 במקום k באותה משוואה אז נקבל:
וזהו מספר שאינו מוגדר.
פעולות הופכיות
עריכהלחזקה קיימות שתי פעולות הופכיות: השורש והלוגריתם. באופן אנלוגי, גם לטטרציה שתי פעולות הופכיות: הסופר-שורש והסופר-לוגריתם. (למעשה, לכל ההיפר-פעולות הגדולות מ-2 יש שתי פעולות הופכיות אנלוגיות). שתי פעולות אלו כמו הטטרציה אינן פעולות אלמנטריות.
סופר-שורש
עריכההסופר-שורש היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הבסיס: אם אז הוא הסופר-שורש ה- ־י של , והוא יסומן בצורה
לדוגמה, אם אז 2 הוא הסופר-שורש הרביעי של 65,536 ( ).
סופר-שורש ריבועי
עריכההסופר-שורש השני נקרא סופר-שורש ריבועי, והוא מסומן בצורה , או בפשטות .
הסופר-שורש הריבועי הוא למעשה הפונקציה ההופכית לפונקציה , וניתן להציגו באמצעות פונקציית אומגה (אנ'):[3]
סופר-לוגריתם
עריכההסופר-לוגריתם היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הגובה: אם אז הוא הסופר-לוגריתם מבסיס של , והוא יסומן בצורה . פונקציה זו מוגדרת עבור כל .
תכונות
עריכה- לכל ממשי מתקיים
ראו גם
עריכהקישורים חיצוניים
עריכההערות שוליים
עריכה- ^ Meiburg, Alexander, Analytic Extension of Tetration Through the Product Power-Tower, 2014
- ^ George Daccache, Climbing the ladder of hyper operators: tetration, math.blogoverflow.com, 5 בינואר 2015
- ^ Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E, "On the Lambert W function, Advances in Computational Mathematics, 1996