בגאומטריה אוקלידית , משפט תַּלְמַי מתאר קשר בין ארבע הצלעות של מרובע החסום במעגל לבין אלכסוני המרובע . המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי והאסטרונום היווני בן המאה השנייה , פטולמאוס קלאודיוס תַלְמַי .
מרובע שניתן לחסום במעגל
ניסוח המשפט: אם במרובע ABCD סכום זוג זוויות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג השני,
∠
A
+
∠
C
=
∠
B
+
∠
D
{\displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D}
A
C
¯
⋅
B
D
¯
=
A
B
¯
⋅
C
D
¯
+
B
C
¯
⋅
A
D
¯
{\displaystyle {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}}
מכיוון שכל מרובע המקיים
∠
A
+
∠
C
=
∠
B
+
∠
D
{\displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D}
מעגל ,
הרי שאת המשפט ניתן לנסח גם באופן הבא:
בכל מרובע ציקלי , סכום מכפלת הצלעות הנגדיות שווה למכפלת האלכסונים .
מבנה ההוכחה של משפט תלמי יהי ABCD כך ש
∠
A
+
∠
C
=
∠
B
+
∠
D
{\displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D}
נחסום את המרובע במעגל.
בניית עזר: נקצה ישר מקודקוד B החותך את הצלע AC בנקודה K כך ש
∠
A
B
K
=
∠
C
B
D
{\displaystyle \angle ABK=\angle CBD}
∠
B
A
C
=
∠
B
D
C
{\displaystyle \angle BAC=\angle BDC}
זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת
B
C
^
{\displaystyle {\widehat {BC}}}
משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים AKB , DCB דומים , ולכן
A
K
A
B
=
C
D
B
D
{\displaystyle {\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}}}
∠
A
C
B
=
∠
A
D
B
{\displaystyle \angle ACB=\angle ADB}
זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת
A
B
^
{\displaystyle {\widehat {AB}}}
מבניית העזר,
∠
A
B
K
=
∠
C
B
D
{\displaystyle \angle ABK=\angle CBD}
∠
A
B
D
=
∠
A
B
K
+
∠
K
B
D
{\displaystyle \angle ABD=\angle ABK+\angle KBD}
∠
C
B
K
=
∠
C
B
D
+
∠
K
B
D
{\displaystyle \angle CBK=\angle CBD+\angle KBD}
∠
A
B
D
=
∠
C
B
K
{\displaystyle \angle ABD=\angle CBK}
משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים KBC , ABD דומים , ולכן
C
K
B
C
=
D
A
B
D
{\displaystyle {\frac {CK}{BC}}={\frac {DA}{BD}}}
מאחר ש -AK/AB = CD/BD ו- CK/BC = DA/BD, אזי:
AK·BD = AB·CD ו- CK·BD = BC·DA;
נחבר את שני השוויונות הנ"ל ונקבל: AB·CD + BC·DA = (AK+CK)·BD ;
אבל AK+CK = AC ולכן AC·BD = AB·CD + BC·DA. מ.ש.ל.
מרובע שלא ניתן לחסום במעגל כל מרובע ABCD מקיים את אי-השוויון
A
B
¯
⋅
C
D
¯
+
B
C
¯
⋅
D
A
¯
≥
A
C
¯
⋅
B
D
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}
אם ורק אם ניתן לחסום את המרובע במעגל.
