משתנים מקריים חילופיים

בהסתברות ובסטטיסטיקה, סדרה של משתנים מקריים חילופיים היא סדרה $X_{1},X_{2},\ldots$ (סופית או אינסופית) אם לכל תת סדרה סופית $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i}$ , מתקיים כי ההתפלגות המשותפת שלה שמורה תחת כל תמורה. לדוגמה, כאשר $i=3$ צריך להתקיים: $F_{X_{1}X_{2}X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3})=F_{X_{1}X_{2}X_{3}}(x_{3},x_{1},x_{2})$ , כאשר ${\textstyle F_{X_{1}X_{2}X_{3}}}$ היא פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת של $X_{1},X_{2},X_{3}$ ומוגדרת באמצעות, $F_{X_{1}X_{2}X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3})=\Pr(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},X_{3}\leq x_{3})$

הגדרה

סדרה של משתנים מקריים חילופיים היא סדרה $X_{1},X_{2},\ldots$ (סופית או אינסופית) אם לכל תת סדרה סופית $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i}$ , ולכל תמורה $\sigma$ על המספרים הטבעיים $1,\ldots ,i$ מתקיים ${\textstyle F_{X_{1}\ldots X_{i}}(x_{1},\ldots ,x_{i})=F_{X_{1}\ldots X_{i}}(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (i)})}$ .

סדרה $E_{1},E_{2},\ldots$ של מאורעות חילופיים היא סדרה של מאורעות אשר סדרת המשתנים המציינים המתאימים חילופיים.

אולב קלנברג סיפק הגדרה של חילופיות לתהליכים סטוכסטיים בזמן רציף. ^[1]

היסטוריה

המושג החילופיות הוצג על ידי ויליאם ארנסט ג'ונסון בספרו מ-1924 Logic, Part III: The Logical Foundations of Science .^[2] החילופיות שקולה למושג הבקרה הסטטיסטית שהציג וולטר שוארט גם כן ב-1924.^[3]^[4]

חילופיות ומשתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות.

תכונת החילופיות קשורה קשר הדוק לשימוש במשתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות (Independent and Identically Distributed - iid). סדרה של משתנים מקריים שהם בלתי-תלויים ושווי-התפלגות, הם דוגמה פשוטה יחסית למשתנים חילופיים.

תערובת של סדרות משתנים מקריים חילופיים (ובפרט, סדרות של משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות) נותנת סידרה של משתנים חילופיים. ההפך הוא גם נכון עבור סדרות משתנים חילופיים אינסופיות.^[5] (המשפט המקורי של דה פינטי הראה שזה נכון עבור משתנים מקריים מציינים. מאוחר יותר הורחב כך שיקיף את כל הסדרות של משתנים מקריים.)

דוגמאות

נניח שכד מכיל $n$ כדורים אדומים ו $m$ כדורים כחולים. ונניח שמוציאים באקראי מהכד, ללא החזרה, כדור אחרי כדור, עד שהכד ריק. נסמן ב- $X_{i}$ את המשתנה המקרי המציין של המאורע שהכדור ה- $i$ שהוצא מהכד היה אדום. הסדרה $\left\{X_{i}\right\}_{i=1,\dots ,n+m}$ היא סדרה של משתנים מקריים חילופיים.
נניח שכד מכיל $n$ כדורים אדומים ו $m$ כדורים כחולים. בכל פעם מוציאים באקראי כדור, ומחזירים אותו ועוד כדור באותו צבע לכד. נסמן ב- $X_{i}$ את המשתנה המקרי המציין של המאורע שהכדור ה- $i$ שהוצא מהכד היה אדום. הסדרה $\left\{X_{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }$ היא סדרה של משתנים מקריים חילופיים. מודל זה נקרא כד פוליה.
למשתנים המקריים $(X,Y)$ יש התפלגות נורמלית דו משתנית עם פרמטרים $\mu =0$ , $\sigma _{x}=\sigma _{y}=1$ ומקדם מתאם שרירותי $\rho \in (-1,1)$ . המשתנים המקריים $X$ ו $Y$ חילופיים, אבל הם בלתי תלויים רק אם $\rho =0$ . פונקציית הצפיפות היא $f_{XY}(x,y)=f_{XY}(y,x)=\exp {\left(-{\frac {x^{2}+y^{2}-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)}$

הערות שוליים

^ Diaconis, Persi (2009). "Book review: Probabilistic symmetries and invariance principles (Olav Kallenberg, Springer, New York, 2005)". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 46 (4): 691–696. doi:10.1090/S0273-0979-09-01262-2.
^ Zabell, S. L. (1992). "Predicting the unpredictable". Synthese. 90 (2): 205. doi:10.1007/bf00485351. S2CID 9416747.
^ Barlow, R. E. & Irony, T. Z. (1992) "Foundations of statistical quality control" in Ghosh, M. & Pathak, P.K. (eds.) Current Issues in Statistical Inference: Essays in Honor of D. Basu, Hayward, CA: Institute of Mathematical Statistics, 99-112.
^ Bergman, B. (2009) "Conceptualistic Pragmatism: A framework for Bayesian analysis?", IIE Transactions, 41, 86–93
^ In short, the order of the sequence of random variables does not affect its joint probability distribution.

[1] Diaconis, Persi (2009). "Book review: Probabilistic symmetries and invariance principles (Olav Kallenberg, Springer, New York, 2005)". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 46 (4): 691–696. doi:10.1090/S0273-0979-09-01262-2.

[2] Zabell, S. L. (1992). "Predicting the unpredictable". Synthese. 90 (2): 205. doi:10.1007/bf00485351. S2CID 9416747.

[3] Barlow, R. E. & Irony, T. Z. (1992) "Foundations of statistical quality control" in Ghosh, M. & Pathak, P.K. (eds.) Current Issues in Statistical Inference: Essays in Honor of D. Basu, Hayward, CA: Institute of Mathematical Statistics, 99-112.

[4] Bergman, B. (2009) "Conceptualistic Pragmatism: A framework for Bayesian analysis?", IIE Transactions, 41, 86–93

[ChowTeicher-5] In short, the order of the sequence of random variables does not affect its joint probability distribution.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]