נוסחת ההיפוך של מביוס

בקומבינטוריקה, נוסחת ההיפוך של מביוס משמשת, בהינתן פונקציה $F$ הניתנת לתיאור בתור סכום מסוים על ערכי פונקציה אחרת $f$, לתאר בצורה ישירה את הפונקציה $f$ באמצעות סכום של $F$.

הגרסה הקלאסית

בהינתן שתי פונקציות אריתמטיות $f,F$, אם מתקיים $F(n)=\sum _{d|n}f(d)$ לכל $n\geq 1$, אזי ניתן להפוך את הנוסחה ולקבל $f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F(n/d)$, כאשר $\mu$ היא פונקציית מביוס.

אם מסמנים ב-$\mathbf {1}$ את הפונקציה הקבועה שמקיימת $\mathbf {1} (n)=1$ לכל $n$, ומשתמשים בסימון של קונבולוציית דיריכלה, נוסחת מביוס אומרת כי בהינתן $F=f*\mathbf {1}$, אז $f=F*\mu$. כלומר $\mathbf {1} ,\mu$ הם איברים הופכיים ביחס לקונבולוציית דיריכלה.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', נוסחת ההיפוך של מביוס, באתר "לא מדויק", 7 בינואר 2012
• נוסחת ההיפוך של מביוס, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.