עקמומיות גאוס

בגאומטריה דיפרנציאלית, עקמומיות גאוס $\mathrm {K}$ (באנגלית: Gaussian curvature) של משטח בנקודה היא מכפלת ערכי העקמומיות הראשיים שלו, $\kappa _{1}$ ו- $\kappa _{2}$ , בנקודה הנתונה:

\mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2}

.

לדוגמה, לספירה בעלת רדיוס $r$ יש עקמומיות גאוס $1/r^{2}$ בכל מקום, בעוד שלמישור שטוח ולגליל יש עקמומיות גאוס 0 בכל מקום. עקמומיות גאוס יכולה גם להיות שלילית, כמו במקרה של היפרבולואיד או בחלקו הפנימי של טורוס.

עקמומיות גאוס היא גודל פנימי שמור של המשטח, כלומר היא תלויה רק במרחקים בין נקודות כפי שהם נמדדים על פני המשטח, ולא באופן שבו הוא משוכן איזומטרית במרחב האוקלידי. זהו תוכנו של התיאורמה אגרגיום.

עקמומיות גאוס נקראת על שם קרל פרידריך גאוס, שפרסם את התיאורמה אגרגיום ב-1827.

רקע

משטח אוכפי עם מישורים נורמליים בכיוונים הראשיים.

בכל נקודה על פני משטח, ניתן לשרטט וקטור נורמל הניצב לכל הישרים שעוברים דרך הנקודה ונמצאים על המשטח (אנך למישור המשיק); מישורים שמכילים את וקטור הנורמל מכונים מישורים נורמליים. החיתוך של מישור נורמלי עם המשטח יוצר עקומה שנקראת חתך נורמלי, והעקמומיות של העקומה הזאת בנקודה הנתונה מכונה עקמומיות נורמלית. בעבור רוב הנקודות על רוב המשטחים, לחתכים נורמליים שונים יהיו ערכי עקמומיות שונים; הערך המרבי והערך המינימלי של העקמומיות מכונים ערכי עקמומיות ראשיים, והם מסומנים $\kappa _{1}$ , $\kappa _{2}$ . עקמומיות גאוס היא המכפלה של ערכי העקמומיות הראשיים האלו: $\mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2}$ .

הסימן של עקמומיות גאוס מאפיין את המשטח:

אם שני ערכי העקמומיות הראשיים הם בעלי אותו הסימן, אז $\kappa _{1}\kappa _{2}>0$ , כלומר עקמומיות גאוס חיובית והנקודה נקראת נקודה אליפטית של המשטח. בנקודות כאלו, המשטח יהיה דמוי כיפה, ויימצא באופן מקומי בצד אחד של המישור המשיק. לכל החתכים הנורמליים תהיה עקמומיות חיובית. מבחינה גאומטרית, באזורים במשטח בעלי עקמומיות חיובית, ישרים שמשורטטים כמקבילים ייטו להתקרב ולהתכנס זה לזה.
אם לערכי העקמומיות הראשיים יש סימן שונה, אז $\kappa _{1}\kappa _{2}<0$ , עקמומיות גאוס שלילית וניתן לומר שלמשטח יש נקודה היפרבולית או נקודת אוכף. בנקודת אוכף המשטח לא יימצא כולו בצד אחד של המישור המשיק. בנוסף, כיוון שערך עקמומיות ראשי אחד הוא שלילי, בעוד האחר חיובי, וכן העקמומיות הנורמלית משתנה ברציפות אם מסובבים את המישור הניצב למשטח מסביב לוקטור הניצב למשטח, ניתן תמיד למצוא כיוונים שבהם העקמומיות הנורמלית היא אפס. עקומות כאלו מכונות עקומות אסימפטוטיות. באזורים במשטח בעלי עקמומיות גאוס שלילית, ישרים שמשורטטים כמקבילים ייטו להתרחק ולהתבדר זה מזה.
אם אחד מערכי העקמומיות הראשיים הוא אפס אז $\kappa _{1}\kappa _{2}=0$ , עקמומיות גאוס היא אפס וניתן לומר שלמשטח יש נקודה פרבולית.

הקשר בין ערכי העקמומיות הראשיים לערך העקמומיות הנורמלית בכל כיוון מבוטא במשפט אוילר בגאומטריה דיפרנציאלית.

רוב המשטחים יכילו אזורים של עקמומיות גאוס חיובית (נקודות אליפטיות) ואזורים בעלי עקמומיות גאוס שלילית (נקודות היפרבוליות) המופרדים על ידי עקום של נקודות בעלות עקמומיות גאוס אפס המכונה ישר פרבולי.

הקשר לגאומטריות לא-אוקלידיות

כאשר למשטח יש עקמומיות גאוס קבועה אפס, אז המשטח הוא פריס והגאומטריה של המשטח היא הגאומטריה האוקלידית.

כאשר למשטח יש עקמומיות גאוס חיובית קבועה, אז זהו ספירה והגאומטריה של המשטח היא גאומטריה כדורית.

כאשר למשטח יש עקמומיות גאוס שלילית קבועה, אז זהו משטח פסאודוספירי והגאומטריה שלו היא גאומטריה היפרבולית.

העקמומיות הכוללת

סכום הזוויות של משולש על משטח בעל עקמומיות שלילית יהיה קטן לעומת זה של משולש מישורי.

האינטגרל המשטחי של עקמומיות גאוס על פני אזור מסוים של המשטח מכונה עקמומיות כוללת. לפי המשפט האלגנטי של גאוס, העקמומיות הכוללת של משולש גיאודזי שווה לסטייה של סכום זוויותיו מ- $\pi$ . לפיכך, סכום הזוויות של המשולש על משטח בעל עקמומיות חיובית יעלה על $\pi$ , בעוד שסכום הזוויות של משולש על משטח בעל עקמומיות שלילית יהיה קטן מ- $\pi$ . על משטח בעל עקמומיות אפס, כמו המישור האוקלידי, הזוויות יסתכמו במדויק ל- $\pi$ . בניסוח מתמטי:

\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA

.

תוצאה כללית יותר היא משפט גאוס-בונה.

משפטים חשובים

התיאורמה אגרגיום

ערך מורחב – תיאורמה אגרגיום

התיאורמה אגרגיום (מלטינית:"המשפט הנהדר") של גאוס קובע שעקמומיות גאוס של המשטח ניתנת לחישוב ממדידות של אורך על גבי המשטח עצמו. למעשה, היא ניתנת לחישוב בהינתן ידיעה מלאה של התבנית היסודית הראשונה, וניתן לבטא אותה באופן כללי דרך התבנית היסודית הראשונה והנגזרות החלקיות מסדר ראשון ושני שלה. ההיבט הנהדר, והמפתיע, של המשפט הזה, הוא שעל אף שההגדרה של עקמומיות גאוס של משטח $S$ ב- $\mathbb {R} ^{3}$ תלויה באופן המדויק שבו המשטח משוכן במרחב, התוצאה הסופית, עקמומיות גאוס עצמה, נקבעת על ידי המטריקה הפנימית של המשטח ללא כל התייחסות למרחב המשכן: זוהי שמורה פנימית. כיוון שכך, עקמומיות גאוס נשמרת תחת עיוותים איזומטריים של המשטח.

בגאומטריה דיפרנציאלית עכשווית, "משטח", כישות אבסטרקטית, הוא יריעה גזירה דו-ממדית. כדי לקשר את נקודת המבט הזאת עם התורה הגאומטרית הקלאסית של משטחים, משטח אבסטרקטי זה משוכן ב- $\mathbb {R} ^{3}$ ומצויד במטריקה הרימנית שהמידע עליה מקודד בתבנית היסודית הראשונה. המשטח $S$ הוא למעשה התמונה של השיכון הזה ב- $\mathbb {R} ^{3}$ . איזומטריה מקומית היא דיפאומורפיזם $f:U\rightarrow V$ בין תחומים פתוחים של $\mathbb {R} ^{3}$ שהמגבלה שלהם היא ש- $S\cap U$ היא איזומטריה אל התמונה. במינוח הזה, התיאורמה אגרגיום מנוסח כך:

עקמומיות גאוס של משטח חלק משוכן ב-

\mathbb {R} ^{3}

נשמרת תחת איזומטריות מקומיות.

למשל, עקמומיות גאוס של צינור גלילי היא אפס, בדיוק כמו הצינור הבלתי מגולל (שהוא שטוח). לספירה בעלת רדיוס $R$ יש עקמומיות חיובית קבועה, בעוד למישור השטוח יש עקמומיות קבועה 0, ועל כן שני המשטחים הללו אינם איזומטריים, אפילו לא מקומית. לכן כל הצגה מישורית של חלק כלשהו של הספירה חייבת לעוות את המרחקים. לפיכך, אין הטלה קרטוגרפית מושלמת.

משפט גאוס-בונה

ערך מורחב – משפט גאוס-בונה

משפט גאוס-בונה מקשר בין העקמומיות של משטח למאפיין אוילר שלו, ובכך מבטא קשר חשוב בין תכונות גאומטריות מקומיות לתכונות טופולוגיות גלובליות.

משטחים בעלי עקמומיות קבועה

שני משטחים בעלי עקמומיות גאוס חיובית קבועה אולם בעלי שפה (משמאל) או בעלי נקודות סינגולריות (מימין).

משפט מיינדינג (1839) קובע שכל המשטחים עם אותה עקמומיות קבועה $\mathrm {K}$ הם איזומטריים מקומית. משפט זה הוא במובן מסוים הכיוון ההפוך של התיאורמה אגרגיום. מסקנה שנובעת ממשפט מיינדינג היא שכל משטח שהעקמומיות שלו היא זהותית אפס ניתן לבנייה על ידי כיפוף של תחום מישורי כלשהו. משטחים כאלו נקראים משטחים פריסים (developable surfaces). מיינדינג העלה גם את השאלה האם משטח סגור עם עקמומיות חיובית קבועה הוא בהכרח קשיח.
משפט Liebmann (משנת 1900) הראה שהתשובה לשאלה של מיינדינג חיובית. המשטחים הסגורים הרגולריים (ממחלקה $C^{2}$ ) היחידים ב- $\mathbb {R} ^{3}$ עם עקמומיות גאוס חיובית קבועה הם ספירות. כלומר אם הספירה מעוותת, עיוות זה בהכרח אינו איזומטרי, ולכן היא בהכרח לא נותרת ספירה, מה שמוכיח את קשיחות הספירה. על אף שהטענה נראית מובנת אינטואיטיבית, משפט Liebmann מדגים את נכונות הטענה באופן ריגורוזי. הוכחה סטנדרטית למשפט משתמשת בלמה של הילברט שמראה שנקודות לא אמביליות בעלות עקמומיות ראשית מרבית הן בעלות עקמומיות גאוס לא חיובית.
משפט הילברט (1901) קובע שלא קיים משטח אנליטי שלם (ממחלקה $C^{\omega }$ ) ורגולרי ב- $\mathbb {R} ^{3}$ בעל עקמומיות גאוס שלילית קבועה. למשל, לפסאודוספירה יש עקמומיות גאוס שלילית קבועה בכל מקום פרט לדיסקה הסינגולרית שבמרכזה.

ישנם משטחים אחרים בעלי עקמומיות גאוס חיובית קבועה. Manfredo do Carmo מביא כדוגמאות גופי סיבוב בהצגה פרמטרית מהצורה $(\phi (v)\cos(u),\phi (v)\sin(u),\psi (v))$ כאשר $\phi (v)=C\cos v$ , ו- ${\textstyle \psi (v)=\int _{0}^{v}{\sqrt {1-C^{2}\sin ^{2}v'}}\ dv'}$ (זהו אינטגרל אליפטי מהסוג השני). למשטחים אלו יש עקמומיות גאוס קבועה של 1, אבל עבור $C\neq 1$ הם כולם בעלי שפה או נקודה סינגולרית, בהתאמה עם משפט Liebmann על הקשיחות של הספירה הדו-ממדית. בנוסף, למרות שהספירה היא קשיחה ולפיכך לא ניתנת לעיקום באמצעות איזומטריה, אם חתיכה קטנה ממנה מוסרת, או אפילו אם היא נחתכת לאורך קטע קטן, אז המשטח הנוצר ניתן לעיקום.