פולינום טריגונומטרי

באנליזה נומרית ובאנליזה מתמטית, פולינום טריגונומטרי הוא צירוף ליניארי סופי של פונקציות מהצורה (sin (nx ו-(cos (nx כאשר n הוא מספר טבעי אחד או יותר. מקדמי הפונקציות עשויים להיות מספרים ממשיים, עבור פונקציות ממשיות; או מרוכבים, ואז הפולינום הוא למעשה טור פורייה סופי. 

הפולינומים הטריגונומטריים שימושיים ביותר, למשל באינטרפולציה טריגונומטרית המשמשת לאינטרפולציה של פונקציות מחזוריות. הם משמשים גם בהתמרת פורייה בדידה. 

שמם שם הפולינומים הטריגונומטריים נובע מהאנלוגיה שיש בינם לבין פולינומים אלגבריים: הפונקציות (sin(nx ו-(cos(nx אנלוגיות לחד-איברים (מונומים), ובמקרה המרוכב, מרחב הפולינומים הטריגונומטריים נפרש על ידי חזקות חיוביות ושליליות של $e^{ix}$. 

הגדרה פורמלית

כל פונקציה T מהצורה:

$T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\mathrm {i} \sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {\mathbb {R} } )$

כאשר $\forall _{0\leq n\leq N}\quad a_{n},b_{n}\in \mathbb {C}$, נקראת פולינום טריגונומטרי מרוכב ממעלה N. בעזרת נוסחת אוילר, ניתן להציג את הפולינום גם בצורה:

$T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nx}\qquad (x\in \mathbf {\mathbb {R} } )$

אם נגביל את המקדמים לשדה הממשיים (כלומר ניקח $a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$), יתקבל פולינום טריגונומטרי ממשי.

תכונות

ניתן לחשוב על פולינום טריגונומטרי בתור פונקציה מחזורית מעל הישר הממשי, עם מחזור שהוא כפולה של 2π או בתור פונקציה מעל מעגל היחידה.

מכך עולה כי הפולינומים הטריגונומטריים הם קבוצה צפופה במרחב הפונקציות הרציפות על מעגל היחידה, עם נורמת הסופרימום. זהו מקרה פרטי של משפט הקירוב של ויירשטראס. באופן קונקרטי, לכל  ε > 0 ולכל פונקציה רציפה f, קיים פולינום טריגונומטרי T כך שלכל z מתקיים ƒ(z) − T(z)| < ε|. לפי משפט פייר, הממוצעים החשבוניים של הסכומים החלקיים של טור פורייה של f מתכנסים במידה שווה אל f, וכך מתקבלת דרך מפורשת למצוא פולינום טריגונומטרי שמקרב את f. 

לפולינום טריגונומטרי ממעלה N יש לכל היותר 2N שורשים בכל קטע מהצורה [a, a + 2π) כך ש-a ממשי, אלא אם כן מדובר בפונקציית האפס. 

ראו גם

• פולינום 
• טור פורייה