התפלגות כי בריבוע

התפלגות כי בריבוע ($\chi ^{2}$, נהגה בכ' רפה, לעיתים נכתב חי בריבוע) היא התפלגות בעלת חשיבות רבה בסטטיסטיקה. חשיבותה העיקרית בהסקה סטטיסטית נובעת מהעובדה שתחת הנחות סבירות, גדלים הניתנים לחישוב באופן פשוט מתפלגים בקירוב בהתאם להתפלגות זו תחת השערת האפס. בין היתר, ההתפלגות משמשת כבסיס למבחן כי בריבוע. השם "כי בריבוע" מקורו באות היוונית $\chi$, כי.

התפלגות כי בריבוע

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$k\in \mathbb {N} _{>0}~~$ (ידוע כ"דרגות חופש")
תומך	$x\in [0,+\infty )$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$1-{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\tfrac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)$
תוחלת	$k$
סטיית תקן	${\sqrt {2k}}$
חציון	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}$
ערך שכיח	$\max(k-2,0)$
שונות	$2k$
אנטרופיה	${\begin{aligned}{\tfrac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\tfrac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\tfrac {k}{2}})\psi ({\tfrac {k}{2}})\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{aligned}}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$(1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}$
פונקציה אופיינית	$(1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}$
צידוד	$\scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,$
גבנוניות	${\frac {12}{k}}$

הגדרה

בהינתן מספר טבעי $k$ (כלומר, שלם וחיובי), נאמר כי למשתנה מקרי רציף $Y$ יש התפלגות כי בריבוע עם $k$ דרגות חופש, אם צפיפות ההסתברות שלו נתונה בביטוי

$f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}&{\text{for }}x>0\\0&{\text{for }}x\leq 0\end{cases}}$

כאשר $\Gamma (z)$ היא פונקציית גמא.

במקרה כזה, מסמנים $Y\sim \chi _{k}^{2}$.

קשר להתפלגויות אחרות

בהינתן $k$ משתנים מקריים $Z_{1},\ldots ,Z_{k}$ בלתי תלויים, שלכולם התפלגות נורמלית סטנדרטית (כלומר: התפלגות נורמלית עם תוחלת 0 ושונות 1), המשתנה

$Y=Z_{1}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}$

מתפלג כי בריבוע עם $k$ דרגות חופש.

התפלגות כי בריבוע היא מקרה פרטי של התפלגות גמא, עם פרמטר צורה $\alpha ={\frac {k}{2}}$ ופרמטר קצב $\lambda ={\frac {1}{2}}$.

שימושים בפיזיקה

בפיזיקה ניסונית, התפלגות כי בריבוע מתארת את מדד טיב ההתאמה של פונקציה בהינתן מספר מדידות N ושגיאותיהן וכמו כן עבור מספר המקדמים בהתאמה שנסמן k (דרגות החופש).

ניתן להוכיח כי $\chi ^{2}\approx N-k$ ולכן נגדיר גודל חדש המתחשב בדרגות החופש, כי בריבוע מצומצם יוגדר ע"י$$\chi _{red}^{2}={\frac {\chi ^{2}}{N-k}}$$דוגמאות לגורמי השפעה על מדד כי בריבוע המצומצם:

• הערכת שגיאות - הערכת יתר מקטינה את ערך כי בריבוע המצומצם
• מדידה חריגה - מגדילה את ערך כי בריבוע המצומצם
• גורמים פיזיקליים שלא התחשבו - מגדילה את ערך כי בריבוע המצומצם

כמו כן קיים קשר בין מדד זה למדד ערך p - "בהנחה שהתקבל ערך α והמודל מתאר את המערכת הפיזיקלית, מה ההסתברות לקבל כי בריבוע גדול או שווה ל-α?"

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות כי בריבוע בוויקישיתוף

• התפלגות כי בריבוע, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא סטטיסטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.