פונקציית האינטגרל הלוגריתמי
במתמטיקה, פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא פונקציה מתמטית חשובה, הידועה בעיקר בזכות משפט המספרים הראשוניים. היא מוגדרת להיות:
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Logarithmic_integral_function.svg/300px-Logarithmic_integral_function.svg.png)
לפונקציה יש סינגולריות בתחום t=1, ולכן הפונקציה מוגדרת במדויק לכל , ומוגדרת לכל באמצעות הערך הראשי של קושי (Cauchy Princpal value), בנוסחה:
פונקציית האינטגרל הלוגריתמי ההפוך
עריכהפונקציית האינטגרל הלוגריתמי או פונקציית האינטגרל הלוגרתמי של אוילר מוגדרת להיות:
או בצורה אינטגרלית:
- .
פונקציה זו אינה בעלת נקודה סינגולרית, והיא מדויקת בחישוב כמות של מספרים ראשונים הקטנים מ-x.
הצגות נוספות של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי
עריכההצגה על ידי פונקציית האינטגרל האקספוננטי
עריכהלפונקציה יש קשר עם פונקציית האינטגרל האקספוננטי (Ei(x)) על ידי המשוואה:
שנפתרת על ידי כל מספר חיובי. קשר נוסף הוא על ידי קבוע אוילר-מסקרוני:
חישוב נוסף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא:
הצגה על ידי הרחבה אסימפטוטית
עריכהניתן להציג את פונקציית האינטגרל הלוגריתמי גם על ידי הרחבה אסימפטוטית שיש לו. לדוגמה:
כאשר O הוא סימון לנדאו. רישום מלא של הפונקציה על ידי הרחבה אסימפטוטית הוא:
או:
רישום זה גורר לרישם הבא:
הערה, הרישום האחרון כסדרה אינו מתכנס, אז חשוב לסדרה תהיה מספר סופי של איברים.
ערכים מיוחדים של הפונקציה
עריכהלפונקציה יש שורש חיובי יחיד, הידוע בתור קבוע רמנוג'אן-סולדר, אשר קרוב שלה הוא x ≈ 1.45136 92348 ... .בנוסף לכך, הערך של הפונקציה בנקודה x=2 הוא כאשר היא פונקציית גמא הלא שלמה.
ראו גם
עריכהקישורים חיצוניים
עריכה- פונקציית האינטגרל הלוגריתמי, באתר MathWorld (באנגלית)