פרבולה

פָּרָבּוֹלָה (מיוונית: παραβολή) היא המקום הגאומטרי של הנקודות במישור שמרחק כל אחת מהן מנקודה נתונה (המוקד, באנגלית: focus) שווה למרחקה מישר נתון (המדריך, באנגלית: directrix). במערכת צירים קרטזית, פרבולה היא הגרף של פונקציה ממעלה שנייה, שמשוואתה הכללית היא $f(x)=ax^{2}+bx+c$. הפרבולה היא חתך חרוט, הנוצר על ידי חיתוך של חרוט ומישור בעל אותו שיפוע.

פרבולה

כמו לחתכי חרוט אחרים, לפרבולה יש תכונות גאומטריות ופיזיקליות חשובות. והיא מופיעה במצבים רבים בטבע. לדוגמה, קרני אור המגיעות במאונך למדריך ופוגעות בפרבולה, מוחזרות כולן אל המוקד. תכונה זו משמשת לריכוז קרני אור בטלסקופים ואנטנות, והיפוכה משמש בפנסים גדולים לפיזור קרני אור היוצאות מהמוקד בכיוון אחיד. כדוגמה נוספת, כדור או קליע הנורה בזווית, משרטט מסלול פרבולי בקירוב (בהנחת שדה כבידה אחיד ובהזנחת החיכוך עם האוויר).

הגדרות וסקירה כללית

תיאור איכותי

גרף המציג את תכונת השיקוף, וכן את נקודת המוקד (כחול) והקו המדריך (ירוק).

הפרבולה מוגדרת כאמור על ידי מוקד (Focus) ומדריך (Directrix, הקרוי גם מנחה). הנקודה הקרובה ביותר למדריך נקראת קודקוד הפרבולה. האנך למשיק בנקודה זו הוא הציר. הציר הוא אכן ציר הסימטריה היחיד של הפרבולה. גוף הסיבוב המתקבל מסיבוב הפרבולה סביב הציר נקרא פרבולואיד.

מבין כל חתכי החרוט, הפרבולה היא זו שהאקסצנטריות שלה היא 1. כתוצאה מכך, כל הפרבולות דומות זו לזו. פרבולה היא הגבול של סדרת אליפסות בעלות קודקוד ומוקד משותף, כאשר המוקד השני מתרחק לאורך ציר המוקדים. ציר המוקדים הופך להיות ציר הסימטריה של הפרבולה והקודקוד של האליפסות הוא הקודקוד של הפרבולה.

תיאור קרטזי

כל פרבולה במישור הקרטזי אפשר לסובב כך שהציר שלה הוא ציר $y$, ונקודת הקיצון היא הראשית. באופן זה, המוקד הוא נקודה $(0,p)$, והמדריך הוא הישר $y=-p$. פרבולה זו מתוארת בקואורדינטות קרטזיות על ידי המשוואה $x^{2}=4py$.

הפרבולה ניתנת גם לתיאור פרמטרי, $x=2pt,y=pt^{2}$.

קואורדינטות קוטביות

בקואורדינטות קוטביות, פרבולה עם מוקד בראשית הצירים, ונקודת הקיצון על החלק השלילי של ציר x, נתונה על ידי המשוואה $r(1-\cos \theta )=\ell \,$, כאשר $\ \ell$ הוא הסמילאטוס רקטום (מלטינית, חצי-צד בקו ישר): המרחק בין המוקד עד לפרבולה עצמה, הנמדד לאורך קו הניצב לציר. זהו פעמיים המרחק עד לפסגה.

תכונת השיקוף של המשיק

המשיק לפרבולה מבוטא על ידי המשוואה (1) ויש לו השיפוע

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=2ax={2y \over x}$

קו זה חוצה את ציר $y$ בנקודה $(0,-y)=(0-a\cdot x^{2})$, ואת ציר $x$ בנקודה $\left({\frac {x}{2}},0\right)$. נקרא לנקודה זו $G$. הנקודה $G$ היא גם נקודת האמצע בין $F$ ל-$Q$.

$F=(0,f),\quad$

$Q=(x,-f),\quad$

$G={F+Q \over 2}={(0,f)+(x,-f) \over 2}={(x,0) \over 2}=\left({x \over 2},0\right).$

מיקוד קרני אור בפרבולה ובפרבולואיד

כיוון ש-G היא נקודת האמצע של הישר FQ, הרי שמכאן נובע:

$\|FG\|\cong \|GQ\|,$

וידוע כבר כי P נמצא במרחק שווה מ־F ו-Q:

$\|PF\|\cong \|PQ\|,$

ושלישית, הישר GP שווה לעצמו, לכן:

$\Delta FGP\cong \Delta QGP$

מכאן נובע כי: $\angle FPG\cong \angle GPQ$. את הישר $QP$ ניתן להאריך מעבר ל-$P$ לנקודה $T$ כלשהי, ואת הישר $GP$ ניתן להאריך מעבר ל-$P$ לנקודה $R$ כלשהי. לכן $\angle RPT$ ו-$\angle GPQ$ הן זוויות קודקודיות, כלומר הן שוות. אולם $\angle GPQ$ שווה ל $\angle FPG$. לכן $\angle RPT$ שווה ל $\angle FPQ$.

הישר $RG$ משיק לפרבולה בנקודה $P$, לכן כל אלומת אור המוחזרת מנקודה $P$ תתנהג כאילו הקו $RG$ הוא מראה, ולכן האלומה תשוקף על ידי מראה זו.

נניח כי אלומת אור נעה על הקו האנכי $TP$, ומוחזרת מנקודה $P$. זווית הנטייה של הקרן אור מהמראה היא $\angle RPT$, לכן כאשר הקרן מוחזרת, זווית ההחזרה חייבת להיות שווה $\angle RPT$. אולם הראינו כי $\angle FPG$ שווה ל $\angle RPT$. לכן האלומה מוחזרת לאורך הישר FP היישר אל המוקד.

מסקנה: כל אלומת אור הנעה אנכית כלפי מטה בשקערורית של הפרבולה (במקביל לציר הסימטריה), תוחזר מהפרבולה היישר לכיוון המוקד. תכונה זו משמשת בבניית מחזיר-אור פרבולי.

פרבולות בעולם הפיזיקלי

בטבע, ניתן למצוא קירובים של פרבולות ופרבולואידים בסביבות רבות ומגוונות. הדוגמה הידועה ביותר להימצאות הפרבולה בהיסטוריה של הפיזיקה היא המסלול של חלקיק או של גוף בתנועה תחת השפעה של שדה כבידה אחיד ללא התנגדות אוויר (למשל, כדור שעף באוויר ללא כוחות מניעים ובהזנחת חיכוך האוויר). המסלול הפרבולי של גופים התגלה בניסויים של גלילאו בתחילת המאה ה־17, כאשר ביצע ניסויים עם כדורים המתגלגלים על מישורים משופעים. מאוחר יותר, נכונוּת הצורה הפרבולית של המסלולים הוכחה על ידי אייזק ניוטון. לעצמים לא־נקודתיים (כגון שחיין הקופץ ממקפצה לבריכה), העצם עצמו יכול לבצע תנועה מורכבת של תנועות עצמיות כגון סיבובים או רטט, אך מרכז המסה של העצם יבצע מסלול פרבולי בכל זאת. באופן כללי, כל המסלולים הללו הן קירוב של פרבולה; נוכחות התנגדות האוויר תמיד מעוותת את הצורה של המסלול, למשל, אולם במהירויות נמוכות, הצורה מהווה קירוב טוב לפרבולה. במהירויות גבוהות יותר, כמו בבליסטיקה, הצורה מעוותת מאוד, ולא מזכירה כלל פרבולה.

צורה פרבולית הנוצרת על פני השטח של נוזל תחת סיבוב

מצב אחר שבו פרבולה יכולה להופיע בטבע הוא בתנועות של גרמי שמים זה סביב זה, כלומר תנועה של כוכב־לכת או עצם אחר תחת השפעה של כוח הכבידה של השמש. המסלולים הפרבוליים הם מקרים מאוד מיוחדים בטבע; מסלולים אשר יוצרים היפרבולה או אליפסה נפוצים הרבה יותר. למעשה, המסלול הפרבולי הוא מקרה גבולי בין שני הסוגים הללו של מסלולים.

ניתן למצוא קירובים של פרבולות גם בצורה של הכבלים בגשרים תלויים. כבלים התלויים בחופשיות לא מתארים פרבולות אלא יותר עקומים קטנריים. אולם, תחת ההשפעה של עומס אחיד (לדוגמה, הסיפון של הגשר), צורת הכבלים מעוותת לכמעט פרבולה.

כמו כן, גם פָּרַבּוֹלוֹאידים מופיעים במספר מצבים פיזיקליים. הדוגמה הידועה ביותר היא מחזיר-אור פרבולי, העשוי ממראה או מתקן מחזיר אור אחר אשר מְרַכז אור או צורות אחרות של קרינה אלקטרומגנטית לנקודת מוקד משותפת. על פי האגדה, העיקרון של מחזיר־האור הפרבולי התגלה על ידי ארכימדס במאה ה־3 לפני הספירה, אשר בנה מראות פרבוליות כדי להגן על סירקוסאי שבסיציליה מפני הצי הרומאי, על ידי ריכוז קרני האור כדי להעלות באש את הספינות הרומיות. אלא שכיום ידוע שסיפור זה, שהופיע לראשונה בכתב במאה ה-8, אין בו ממש. העיקרון יושם גם בטלסקופים במאה ה־17. היום, ניתן למצוא מחזירי־אור פרבוליים בטלסקופים מבוססי מראות, במיקרוגל וצלחות אנטנה של הלוויין ותחנות כוח תרמו-סולאריות המבוססות על קשתות פרבוליות.

ניתן למצוא את צורת הפרבולואיד גם בפני השטח של נוזל הנמצא במְכָל ומסובב סביב הציר המרכזי. במקרה זה, הכוח הצנטריפוגלי (כוח מדומה), גורם לפני השטח של הנוזל לעלות על הקירות של המכל תוך כדי קבלת צורה של משטח פרבולואידי.

ראו גם

• פרבולואיד
• קו השרשרת

קישורים חיצוניים

• שיר הפרבולה, בביצוע דביר רוס, וידאו קליפ של השיר באתר יוטיוב
• פרבולה, באתר MathWorld (באנגלית)
• מהי פרבולה?, באתר לרגו (LerGO)
• פרבולה הפוכה או ישרה?, באתר לרגו (LerGO)
• ד"ר עמוס ארליך, על תכונה מיוחדת של פרבולה, באתר "אלף אפס"
• דורון אורנשטיין, פרבולות ותמונות - ניתן להיעזר במתמטיקה בסיסית על מנת לשפר תמונות שצילמתם, באתר "מדע גדול, בקטנה"
• פרבולה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)