רזולוציה (אלגברה)

במתמטיקה, רזולוציה היא סדרה של מודולים, עם העתקות ביניהם, המייצגת מודול נתון. רזולוציות הן אחד המושגים הטכניים המרכזיים באלגברה הומולוגית.

אם לכל המודולים ברזולוציה נתונה יש תכונה מסוימת, אומרים שלרזולוציה יש את אותה התכונה. רזולוציות נפוצות הן רזולוציות חופשיות, רזולוציות פרויקטיביות, רזולוציות אינג'קטיביות ורזולוציות שטוחות.

הגדרה

רזולוציה של מודול $M$ מעל חוג $R$ היא סדרה מדויקת מאחת מהצורות הבאות:

$0\rightarrow M\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow \dots \rightarrow E_{n}\rightarrow \dots$

$\dots \rightarrow E_{n}\rightarrow \dots \rightarrow E_{1}\rightarrow E_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$

הרזולוציה נקראת סופית אם לכל $n$ גדול מספיק מתקיים $E_{n}=0$.

תכונות

לכל מודול יש רזולוציה חופשית (כלומר, רזולוציה שבה לכל $n$, המודול $E_{n}$ הוא חופשי). בפרט, לכל מודול יש רזולוציה פרויקטיבית. לכל מודול יש גם רזולוציה אינג'קטיבית. רזולוציות פרויקטיביות ואינג'קטיביות משמשות להגדרת פונקטורים נגזרים.

מדיוק הסדרות לעיל נובע כי אפשר למחוק את המודול $M$, מבלי לאבד מידע. במקרה הראשון, $M$ איזומורפי לגרעין של ההעתקה בין $E_{0}\rightarrow E_{1}$. במקרה השני, $M$ איזומורפי לקו-גרעין של ההעתקה $E_{1}\rightarrow E_{0}$.

קוואזי-איזומורפיזם

העתקת קומלפקסים $f:C\rightarrow D$ נקראת קוואזי-איזומורפיזם אם לכל מספר טבעי $i$, ההעתקה המושרית על ההומולוגיה $H^{i}(f):H^{i}(C)\rightarrow H^{i}(D)$ היא איזומורפיזם. בעזרת טרמינולוגיה זו, נוכל להגדיר באופן כללי שקומפלקס $P$ הוא רזולוציה של קומפלקס $M$ אם קיים קוואזי-איזומורפיזם $f:P\rightarrow M$ או $f:M\rightarrow P$. לדוגמה, בהינתן מודול $M$ ורזולוציה פרויקטיבית $\dots \rightarrow P^{2}\rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow M\rightarrow 0\rightarrow \dots$ ההעתקה $P^{0}\rightarrow M$ משרה קוואזי-איזומורפיזם בין הקומפלקס $\dots \rightarrow P^{2}\rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow 0\rightarrow \dots$ (שנקרא רזולוציה של $M$) לבין הקומפלקס $\dots \rightarrow 0\rightarrow M\rightarrow 0\rightarrow \dots$ המהווה ייצוג של $M$ כקומפלקס. תחת הגדרה זו ניתן להוכיח שלכל קומפלקס $M$ החסום מלמעלה (כלומר $M^{i}=0$ לכל $i$ גדול מספיק) יש רזולוציה פרויקטיבית (כלומר קוואזי-איזומורפיזם מקומפלקס חסום מלמעלה המורכב כולו ממודולים פרויקטיביים). בדומה, לכל קומפלקס חסום מלמטה יש רזולוציה אינג'קטיבית.

לקריאה נוספת

• Rotman, Joseph J. (1979), An introduction to homological algebra, Pure and Applied Mathematics, 85, Boston, MA: Academic Press
• Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press,