כתיב מדעי

כתיב מדעי הוא שיטה לכתיבה של מספרים שהם גדולים מדי או קטנים מדי להצגה רגילה כמספר עשרוני, משום שזו תצריך מספר רב מאוד של ספרות.

כתיב עשרוני	כתיב מדעי
7000200000000000000♠2	7000200000000000000♠2×10⁰
7002300000000000000♠300	7002300000000000000♠3×10²
7003432176800000000♠4321.768	7003432176800000000♠4.321768×10³
2995470000000000000♠−53000	2995470000000000000♠−5.3×10⁴
7009672000000000000♠6720000000	7009672000000000000♠6.72×10⁹
6999200000000000000♠0.2	6999200000000000000♠2×10⁻¹
7002987000000000000♠987	7002986999999999999♠9.87×10²
6991751000000000000♠0.00000000751	6991751000000000000♠7.51×10⁻⁹

כדי להגדיל את הבהירות והקריאות, נמנעים בכתיבה מדעית משימוש בשמות של מספרים. מספר השווה לאחד עם אפסים מימינו נכתב כחזקת-10, בצורה $\ 10^{m}$ . כך למשל מיליון הוא $\ 10^{6}$ , ומיליארדית (אחד חלקי מיליארד) היא $\ 10^{-9}$ . מספרים כלליים יותר נכתבים בצורה m × 10ⁿ, כאשר n הוא מספר שלם ו-m הוא מספר ממשי, בדרך כלל בטווח 1–10 בערך מוחלט. כך, מרחקו של כדור הארץ מן השמש, מאה וחמישים מיליון קילומטרים, נכתב $\ 1.5\times 10^{8}$ קילומטרים. בעבר, כאשר מכונת כתיבה הייתה אמצעי הכתיבה הנפוץ, היה מקובל סימון $\ 1.5E8$ לאותו מספר (כדי לחסוך את העלייה לשורה אחרת של תווי הדפוס). צורה זו עודנה נפוצה במחשבונים ובגיליונות אלקטרוניים (דוגמת אקסל).

במחשבים נפוצה שיטת הנקודה הצפה לייצוג מספרים לא שלמים. שיטת הנקודה הצפה דומה לכתיב מדעי, אלא שמחשבים משתמשים בדרך כלל במערכת בינארית ולכן בסיס החזקה הוא 2 במקום 10.

כתיב מדעי מנורמל

כל מספר ממשי ניתן לכתוב בצורה m × 10ⁿ בדרכים רבות: לדוגמה, 350 יכול להיכתב כ-7002350000000000000♠3.5×10² או 7002350000000000000♠35×10¹ או 7002350000000000000♠350×10⁰.

בכתיב מדעי מנורמל, המעריך n נבחר כך שהערך המוחלט של m יהיה לפחות 1 אך קטן מ-10 (1 ≤ |m| < 10). כך 350 נכתב כ-7002350000000000000♠3.5×10². צורה זו מאפשרת השוואה קלה של מספרים: מספרים עם מעריכים גדולים יותר (בשל הנורמליזציה) גדולים מאלה עם מעריכים קטנים יותר, וחיסור של מעריכים נותן אומדן של מספר סדרי הגודל המפרידים בין המספרים. זוהי גם הצורה הנדרשת בעת שימוש בלוחות לוגריתמים. בכתיב מנורמל, המעריך n שלילי עבור מספר עם ערך מוחלט בין 0 ל-1 (לדוגמה, 0.5 נכתב כ-6999500000000000000♠5×10⁻¹). לעיתים קרובות ה-10 והמעריך מושמטים כאשר המעריך הוא 0.

כתיב מדעי מנורמל הוא צורת הביטוי האופיינית של מספרים גדולים בתחומים רבים, אלא אם כן רצוי כתיב לא מנורמל או מנורמל אחרת, כגון כתיב הנדסי. כתיב מדעי מנורמל נקרא לעיתים קרובות כתיב אקספוננציאלי - אם כי המונח האחרון הוא כללי יותר ותקף גם כאשר m אינו מוגבל לטווח 1 עד 10 (למשל בכתיב הנדסי) ולבסיסים שאינם 10 (לדוגמה, 3.15 × 2²⁰).

כתיב הנדסי

כתיב הנדסי (המכונה לעיתים קרובות "ENG" במחשבונים מדעיים) שונה מהכתיב המדעי המנורמל בכך שהמעריך n מוגבל לכפולות של 3. כתוצאה מכך, הערך המוחלט של m נמצא בטווח (1 ≤ |m| < 1000). כתיב הנדסי מאפשר למספרים להתאים לתחיליות במערכת היחידות הבין-לאומית, מה שמקל על קריאה ותקשורת בעל פה. לדוגמה, ניתן לקרוא את 6992125000000000000♠12.5×10⁻⁹ מטר כ"שנים עשר נקודה חמש ננומטר" ולכתוב כ-12.5 ננומטר, בעוד שהכתיב 6992125000000000000♠1.25×10⁻⁸ מטר המקביל בכתיב מדעי ייקרא כ"אחד נקודה עשרים וחמש כפול עשר בחזקת מינוס שמונה מטרים".

ספרות משמעותיות

ספרה משמעותית היא ספרה במספר שמוסיפה לדיוק שלו. זה כולל את כל המספרים השונים מאפס, אפסים בין ספרות משמעותיות ואפסים המצוינים כמשמעותיים. אפסים מובילים ואפסים מסיימים אינם ספרות משמעותיות, משום שהם קיימים רק כדי להראות את קנה המידה של המספר. זה מוביל לאי בהירות. המספר 1230400 נקרא בדרך כלל כך שיש לו חמש ספרות משמעותיות: 1, 2, 3, 0 ו-4, שני האפסים האחרונים משמשים רק כמצייני מקום ואינם מוסיפים דיוק. עם זאת, אותו מספר ישמש אם גם שתי הספרות האחרונות נמדדות במדויק ונמצאות שוות ל-0 - שבע ספרות משמעותיות.

כאשר מספר מומר לכתיב מדעי מנורמל, הוא מצטמצם למספר שבין 1 ל-10. כל הספרות המשמעותיות נשארות, אך אין צורך באפסי המיקום. כך 1230400 יהפוך ל-7006123040000000000♠1.2304×10⁶ אם היו לו חמש ספרות משמעותיות. אם המספר היה ידוע לשש או שבע ספרות משמעותיות, הוא יוצג כ-7006123040000000000♠1.23040×10⁶ או 7006123040000000000♠1.230400×10⁶, בהתאמה. לפיכך, יתרון נוסף של סימון מדעי הוא שמספר הספרות המשמעותיות הוא חד-משמעי.

ספרות סופיות משוערות

במדידה מדעית נהוג לרשום את כל הספרות הידועות בוודאות מהמדידה ולהעריך לפחות ספרה אחת נוספת, אם יש בכלל מידע זמין על ערכה. המספר המתקבל מכיל מידע רב יותר ממה שהיה מכיל ללא הספרה הנוספת, שעשויה להיחשב ספרה משמעותית משום שהיא מעבירה מידע מסוים המוביל לדיוק רב יותר במדידות ובצבירה של מדידות (חיבורן או הכפלתן יחד).

ניתן להעביר מידע נוסף על דיוק באמצעות סימון נוסף. לעיתים קרובות כדאי לדעת עד כמה מדויקות הספרה או הספרות הסופיות. לדוגמה, הערך המקובל של מסת הפרוטון יכול להיות מבוטא כ-6973167262192369000♠1.67262192369(51)×10⁻²⁷ ק"ג, שהוא קיצור של 6973167262192369000♠(1.67262192369±0.00000000051)×10⁻²⁷ ק"ג. עם זאת עדיין לא ברור האם השגיאה (6963510000000000000♠5.1×10⁻³⁷ במקרה זה) היא השגיאה המרבית האפשרית, שגיאת תקן או רווח בר-סמך אחר.

כתיב E

כתיב עשרוני	כתיב E
7000200000000000000♠2	2E0
7002300000000000000♠300	3E2
7003432176800000000♠4321.768	4.321768E3
2995470000000000000♠−53000	-5.3E4
7009672000000000000♠6720000000	6.72E9
6999200000000000000♠0.2	2E-1
7002987000000000000♠987	9.87E2
6991751000000000000♠0.00000000751	7.51E-9

מחשבונים ותוכנות מחשב מציגים בדרך כלל מספרים גדולים מאוד או קטנים מאוד באמצעות כתיב מדעי, וחלקם יכולים להיות מוגדרים כך שיציגו בצורה אחידה את כל המספרים. כיוון שמעריכים בכתב עילי כמו 10⁷ עלולים להיות לא נוחים להצגה או להקלדה, האות "E" או "e" (המייצגת exponent - מעריך) משמשת לעיתים קרובות כדי לייצג "כפול עשר בחזקת", כך שהסימון m E n עבור ספרות משמעותיות m ומספר שלם n פירושו זהה ל-m × 10ⁿ. לדוגמה 7023602200000000000♠6.022×10²³ נכתב כ-6.022E23 או 6.022e23, ו-6965160000000000000♠1.6×10⁻³⁵ נכתב כ-1.6E-35 או 1.6e-35. אף שהוא נפוץ בפלט מחשב, גרסה מקוצרת זו של כתיב מדעי נשללת במדריכי כתיבה אחדים.

רוב שפות התכנות הפופולריות - כולל Fortran, C/C++, פייתון ו-JavaScript - משתמשות בסימן "E" זה, שמגיע מ-Fortran והיה קיים בגרסה הראשונה שפורסמה למחשב IBM 704 ב-1956. סימן E כבר היה בשימוש מפתחי מערכת ההפעלה SHARE‏ (SOS) למחשב IBM 709 בשנת 1958.^[1] גרסאות מאוחרות יותר של Fortran (לפחות מאז FORTRAN IV החל משנת 1961) משתמשות גם ב-"D" כדי לסמן מספרי דיוק כפול בכתיב מדעי,^[2] ומהדרים חדשים יותר של Fortran משתמשים ב-"Q" כדי לסמן דיוק מרובע.^[3] שפת התכנות MATLAB תומכת בשימוש ב-"E" או "D".

שפת התכנות ALGOL 60 (מ-1960) משתמשת בכתב תחתי "₁₀" במקום באות "E", לדוגמה: 6.022₁₀23.^[4]^[5] זה יצר בעיה במערכות מחשב שלא סיפקו תו כזה, ולכן ALGOL W (מ-1966) החליפה את הסמל בגרש, למשל 6.022'+23,^[6] וכמה גרסאות אלגול סובייטיות אפשרו את השימוש באות הקירילית "ю", למשל 6.022ю+23. לאחר מכן, שפת התכנות ALGOL 68 סיפקה מבחר של תווים: E, e, \, ⊥, או ₁₀. התו "₁₀" נוסף ל-יוניקוד 5.2 (מ-2009) בתור U+23E8 ⏨ DECIMAL EXPONENT SYMBOL.^[7]

שפות תכנות מסוימות משתמשות בסמלים אחרים. לדוגמה, Simula משתמשת ב-& (או && לדיוק כפול), כמו ב-6.022&23. Mathematica תומכת בסימון הקצר 6.022*^23 (האות E נשמרת לקבוע המתמטי e).

תצוגה של מחשבון TI-84 Plus מציגה את מספר אבוגדרו בדיוק של שלוש ספרות משמעותיות בכתיב E

המחשבונים הראשונים התומכים בכתיב מדעי (למשל TI SR-10) הופיעו ב-1972. כדי להזין מספרים בכתיב מדעי, נכלל במחשבונים כפתור שכותרתו "EXP" או "×10^x" וכדומה. התצוגות של מחשבוני שנות ה-70 לא הציגו סמל מפורש בין הספרות המשמעותיות למעריך; במקום זאת, ספרה אחת או יותר נותרו ריקות (למשל 6.022 23, כפי שניתן לראות במחשבון HP-25), או זוג ספרות קטנות ומוגבהות מעט נשמרו עבור המעריך (למשל 6.022 ²³, כפי שניתן לראות ב-Commodore PR100). בשנת 1976 ג'ים דיווידסון, משתמש במחשבון של HP, טבע את המונח decapower עבור מעריך בכתיב מדעי כדי להבדיל אותו ממעריכים "רגילים", והציע את האות "D" כמפריד בין הספרות המשמעותיות למעריך במספרים מודפסים (לדוגמה, 6.022D23); אלה זכו לתיכה מסוימת בקהילת משתמשי המחשבונים הניתנים לתכנות. האותיות "E" או "D" שימשו כמפריד בכתיב מדעי במחשבונים של שארפ שיוצרו בין 1987 ל-1995, "E" שימש למספרים בני 10 ספרות ו-"D" שימש למספרים בני 20 ספרות בעלי דיוק כפול. בסדרות המחשבונים של טקסס אינסטרומנטס TI-83 ו-TI-84 משמשת האות E קטנה כמפריד.

דוגמאות

מסת האלקטרון היא בערך 0.0000000000000000000000000000000910938356 קילוגרם. בכתיב מדעי זה נכתב 6969910938355999999♠9.10938356×10⁻³¹ קילוגרם.
מסת כדור הארץ היא בערך 59724000000000000000000000 קילוגרם. בכתיב מדעי זה נכתב 7024597240000000000♠5.9724×10²⁴ קילוגרם.
היקף כדור הארץ הוא כ-40000000 מטר. בכתיב מדעי זה נכתב 7007400000000000000♠4×10⁷ מטר. בכתיב הנדסי זה נכתב 7007400000000000000♠40×10⁶ מטר. במערכת היחידות הבין-לאומית (SI), זה עשוי להיכתב כ-40 מגה-מטר.
אינץ' מוגדר כ-25.4 מילימטר בדיוק. באמצעות כתיב מדעי ניתן לבטא ערך זה באופן אחיד לכל דיוק רצוי, מעשירית המילימטר הקרובה ביותר 7001254000000000000♠2.54×10¹ מילימטר ועד לננומטר הקרוב ביותר 7001254000000000000♠2.5400000×10¹ מילימטר, או מעבר לכך.
היפר-אינפלציה פירושה שיותר מדי כסף מוכנס למחזור, אולי על ידי הדפסת שטרות, שמבקשים לרכוש אחרי מעט מדי סחורות. לפעמים זה מוגדר כאינפלציה של 50% או יותר בחודש בודד. בתנאים כאלה, כסף מאבד במהירות את ערכו. לחלק מהמדינות היו אירועים של אינפלציה של מיליון אחוז או יותר בחודש בודד, מה שבדרך כלל מביא לנטישה מהירה של המטבע. לדוגמה, בנובמבר 2008 שיעור האינפלציה החודשי של הדולר הזימבבואי הגיע ל-79.6 מיליארד אחוז (470% ליום); הערך המשוער עם שלוש ספרות משמעותיות יהיה 7010796000000000000♠7.96×10¹⁰%, או פשוט יותר שיעור של 7008796000000000000♠7.96×10⁸.

פעולות חשבון בסיסיות

בהינתן שני מספרים בסימון מדעי, $x_{0}=m_{0}\times 10^{n_{0}}$ ו- $x_{1}=m_{1}\times 10^{n_{1}}$

כפל וחילוק מבוצעים באמצעות הכללים לפעולה עם חזקות: $x_{0}x_{1}=m_{0}m_{1}\times 10^{n_{0}+n_{1}}$ ו- ${\frac {x_{0}}{x_{1}}}={\frac {m_{0}}{m_{1}}}\times 10^{n_{0}-n_{1}}$

דוגמאות: $5.67\times 10^{-5}\times 2.34\times 10^{2}\approx 13.3\times 10^{-5+2}=13.3\times 10^{-3}=1.33\times 10^{-2}$

${\frac {2.34\times 10^{2}}{5.67\times 10^{-5}}}\approx 0.413\times 10^{2-(-5)}=0.413\times 10^{7}=4.13\times 10^{6}$

חיבור וחיסור דורשים שתחילה המספרים יהיו מיוצגים באמצעות אותו מעריך, כך שניתן פשוט לחבר או לחסר את הספרות המשמעותיות:

נתונים

x_{0}=m_{0}\times 10^{n_{0}}

ו-

x_{1}=m_{1}\times 10^{n_{1}}

עם

n_{0}=n_{1}

לשם חיבור או חיסור שלהם יש לחבר או לחסר את הספרות המשמעותיות: $x_{0}\pm x_{1}=(m_{0}\pm m_{1})\times 10^{n_{0}}$

דוגמה: $2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}$

קישורים חיצוניים

יפעת בן יעקב (תרגום), טרום אלגברה – פרק 23: כתיב מדעי, במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 28 בפברואר 2013
כתיב מדעי, באתר MathWorld (באנגלית)
Scientific notation and metric prefixes (באנגלית)
Decimal to Scientific Notation Converter

הערות שוליים

^ DiGri, Vincent J.; King, Jane E. (באפריל 1959) [1958-06-11]. "The SHARE 709 System: Input-Output Translation". Journal of the ACM. 6 (2): 141–144. doi:10.1145/320964.320969. S2CID 19660148. It tells the input translator that the field to be converted is a decimal number of the form ~X.XXXXE ± YY where E implies that the value of ~x.xxxx is to be scaled by ten to the ±YY power. {{cite journal}}: (עזרה)
^ "UH Mānoa Mathematics » Fortran lesson 3: Format, Write, etc". Math.hawaii.edu. 2012-02-12.
^ Intel Fortran: Language Reference (PDF). Intel Corporation. 2005 [2003]. pp. 3-7–3-8, 3–10. 253261-003. נבדק ב-2022-12-22.
^ Naur, Peter, ed. (1960). Report on the Algorithmic Language ALGOL 60. Copenhagen.
^ Savard, John J. G. (2018) [2005]. "Computer Arithmetic". quadibloc. The Early Days of Hexadecimal.
^ Bauer, Henry R.; Becker, Sheldon; Graham, Susan L. (בינואר 1968). "ALGOL W – Notes For Introductory Computer Science Courses" (PDF). Stanford University, Computer Science Department. {{cite web}}: (עזרה)
^ Broukhis, Leonid (2008-01-22), "Revised proposal to encode the decimal exponent symbol" (PDF), unicode.org (Working Group Document), L2/08-030R

[1] DiGri, Vincent J.; King, Jane E. (באפריל 1959) [1958-06-11]. "The SHARE 709 System: Input-Output Translation". Journal of the ACM. 6 (2): 141–144. doi:10.1145/320964.320969. S2CID 19660148. It tells the input translator that the field to be converted is a decimal number of the form ~X.XXXXE ± YY where E implies that the value of ~x.xxxx is to be scaled by ten to the ±YY power. {{cite journal}}: (עזרה)

[2] "UH Mānoa Mathematics » Fortran lesson 3: Format, Write, etc". Math.hawaii.edu. 2012-02-12.

[3] Intel Fortran: Language Reference (PDF). Intel Corporation. 2005 [2003]. pp. 3-7–3-8, 3–10. 253261-003. נבדק ב-2022-12-22.

[4] Naur, Peter, ed. (1960). Report on the Algorithmic Language ALGOL 60. Copenhagen.

[5] Savard, John J. G. (2018) [2005]. "Computer Arithmetic". quadibloc. The Early Days of Hexadecimal.

[6] Bauer, Henry R.; Becker, Sheldon; Graham, Susan L. (בינואר 1968). "ALGOL W – Notes For Introductory Computer Science Courses" (PDF). Stanford University, Computer Science Department. {{cite web}}: (עזרה)

[7] Broukhis, Leonid (2008-01-22), "Revised proposal to encode the decimal exponent symbol" (PDF), unicode.org (Working Group Document), L2/08-030R

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]