אופרטור התנע הזוויתי

אופרטור התנע הזוויתי הוא אופרטור וקטורי ממכניקת הקוונטים אשר מתאים למדידת תנע זוויתי של חלקיק המתואר על ידי פונקציית גל. לאופרטור זה חשיבות רבה בחקר של תופעות טבע שונות, ובפרט במערכות של פוטנציאל מרכזי וסימטריה סיבובית כדוגמת אטום המימן.

ניתן לפרק את אופרטור התנע הזוויתי לשלושה סוגים. ניתן להתייחס לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי המסומן לרוב באות $\mathbf {L}$ ומוגדר להיות המכפלה הווקטורית של אופרטור המיקום ואופרטור התנע:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ ^[1]

כמו כן, ישנו אופרטור תנע זוויתי ספיני שסימונו $\mathbf {S}$ . לאופרטור זה, על אף שתכונותיו דומות לזה של אופרטור התנע הזוויתי האורביטלי, אין ייצוג במרחב המיקום. בנוסף, בבעיות שבהן ישנו צימוד ספין-מסילה, צימוד ספין-ספין או צימוד בין שני חלקיקים, ניתן להתייחס לאופרטור התנע הזוויתי הכולל המסומן באות $\mathbf {J}$ .

מבוא

תנע זוויתי אורביטלי

במכניקה הקלאסית נהוג להגדיר את גודל התנע הזוויתי של חלקיק להיות המכפלה הווקטורית של שני הגדלים המדידים, וקטור ההעתק והתנע הקווי. במכניקת הקוונטים מיוצגים שני גדלים אלו על ידי אופרטור המיקום ואופרטור התנע בהתאמה, ועל כן ניתן באופן אנלוגי להגדיר את אופרטור התנע הזוויתי האורביטלי כמכפלה הווקטורית של שני אופרטורים אלו:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )$

מאחר שאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי הוא אופרטור וקטורי, ניתן לפרקו לרכיבי הצירים ולסמנם ב- $L_{x},L_{y},L_{z}$ . אופרטורים אלו מקבלים את הצורה:

$L_{x}=yp_{z}-zp_{y},L_{y}=zp_{x}-xp_{z},L_{z}=xp_{y}-yp_{x}$

בנוסף לכך נהוג להגדיר את האופרטור הסקלרי $L^{2}$ כך:

$L^{2}:=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}$

מאחר שהתנע הזוויתי האורביטלי מוגדר כמכפלה וקטורית של שני אופרטורים הניתנים לייצוג במרחב המיקום, גם הוא ניתן לייצוג במרחב המיקום (ובאופן זהה במרחב התנע).

ספין

ערך מורחב – ספין (פיזיקה)

בנוסף לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי, ניתן להגדיר אופרטור בעל יחידות של תנע זוויתי הקרוי אופרטור הספין ומסומן באות $\mathbf {S}$ . אופרטור זה אף הוא אופרטור וקטורי ומתאים למדידת הספין של חלקיק מסוים. עם זאת, לאופרטור הספין, על אף שיש לו יחידות של תנע זוויתי, אין ייצוג במרחב המיקום, זאת בניגוד לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי.

גם את אופרטור הספין ניתן לפרק לרכיביו, $S_{x},S_{y},S_{z}$ , ולהגדיר את האופרטור $S^{2}$ , בדומה לתנע הזוויתי האורביטלי.

תכונות וזהויות

ייצוג תנע זוויתי אורביטלי במרחב המיקום

עבור מרחב המיקום בקואורדינטות קרטזיות ניתן לכתוב את רכיבי התנע הזוויתי האורביטלי כך:

$L_{x}=-i\hbar \left(y{\frac {\partial }{\partial z}}-z{\frac {\partial }{\partial y}}\right)$

$L_{y}=-i\hbar \left(z{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

$L_{z}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)$ ^[2]

לעומת זאת, בקואורדינטות כדוריות מקבלים רכיבי התנע הזוויתי האורביטלי את הצורה הבאה:

$L_{x}=i\hbar \left(\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)$

$L_{y}=i\hbar \left(-\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)$

$L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}$

ייצוג רכיבי התנע הזוויתי האורביטלי אינו תלוי בקואורדינטה $r$ ובנגזרותיה, אלא רק בקואורדינטות הזוויתיות $\theta$ ו- $\phi$ , מה שמדגיש את האופי הסיבובי של אופרטורים אלו. בקואורדינטות כדוריות מקבל האופרטור $L^{2}$ את הצורה:

$L^{2}=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)$

יחסי חילוף

ניתן להסיק כי הקומוטטור של רכיבי התנע הזוויתי האורביטלי מקיים את היחסים:

$[L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y}$

נהוג לכתוב זהויות אלו בקיצור:

$[L_{i},L_{j}]=i\hbar \sum _{k=1}^{3}{\epsilon _{ijk}L_{k}}$

כאשר הקואורדינטות $x,y,z$ מזוהות עם האינדקסים $1,2,3$ בהתאמה ו- $\epsilon _{ijk}$ הוא סימן לוי-צ'יוויטה. כמו כן, באמצעות זהויות הקומטטור למכפלת אופרטורים ניתן להראות כי:

$[L^{2},L_{x}]=[L^{2},L_{y}]=[L^{2},L_{z}]=0$

כלומר, $L^{2}$ מתחלף עם כל אחד מרכיבי התנע הזוויתי, על אף שהם לא מתחלפים אחד עם השני.

באופן דומה, כל היחסים הללו מתקיימים אף לאופרטור הספין $\mathbf {S}$ ולרכיביו.

מצבים עצמיים

תיאור ויזואלי של המצבים העצמיים של אופרטור תנע זוויתי עם

l=2

תנע זוויתי אורביטלי

מאחר ש- $L^{2}$ מתחלף עם כל אחד מרכיבי $\mathbf {L}$ , ניתן לבחור אחד מהם ולמצוא בסיס מצבים עצמיים משותף. נהוג לבחור ב- $L_{z}$ , על אף שבבעיות ספציפיות ניתן לבחור איבר אחר.

הפונקציות העצמיות המשותפות ל- $L^{2}$ ו- $L_{z}$ הן ההרמוניות הספריות $Y_{l}^{m}$ . בכתיב דיראק נהוג לסמנן ב- $|lm\rangle$ . כלומר, לכל ${\vec {r}}\in \mathbb {R} ^{3}$ מתקיים:

$\langle {\vec {r}}|lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ כאשר $\theta$ ו- $\phi$ הן הקואורדינטות הזוויתיות של ${\vec {r}}$ כאשר זה מיוצג בקואורדינטות כדוריות.

הערכים העצמיים של $|lm\rangle$ עבור האופרטורים $L^{2}$ ו- $L_{z}$ הם:

$L_{z}|lm\rangle =m\hbar |lm\rangle$

$L^{2}|lm\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|lm\rangle$ ^[3]

המספר הקוונטי $l$ נקרא מספר קוונטי זוויתי והוא רשאי לקבל ערכים שלמים אי-שליליים בלבד. כלומר, $l=0,1,2,3,\dots$ .

המספר הקוונטי $m$ נקרא מספר קוונטי מגנטי והוא רשאי לקבל מספרים שלמים שערכם המוחלט קטן או שווה ל- $l$ . כלומר $m=-l,-l+1,\dots ,l-1,l$ .

ספין

גם עבור אופרטור הספין ניתן למצוא בסיס משותף ל- $S^{2}$ ו- $S_{z}$ . איברי הבסיס המשותף של אופרטורים אלו בנויים משני מספרים קוונטים $s$ ו- $m_{s}$ ומסומנים בכתיב דיראק בסימון $|sm_{s}\rangle$ ^[4]. הערכים העצמיים של $|sm_{s}\rangle$ עבור $S^{2}$ ו- $S_{z}$ זהים לאלו של התנע הזוויתי האורביטלי:

$S_{z}|sm_{s}\rangle =s\hbar |sm_{s}\rangle$

$S^{2}|sm_{s}\rangle =s(s+1)\hbar ^{2}|sm_{s}\rangle$

עם זאת, בניגוד לתנע הזוויתי האורביטלי, אין להם ייצוג במרחב המיקום (או במרחב התנע).

המספר הקוונטי $s$ נקרא מספר קוונטי ספיני והוא רשאי לקבל ערכים חצי-שלמים אי-שליליים בלבד, גם זאת בניגוד לתנע הזוויתי האורביטלי. כלומר, $s=0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\dots$ .

המספר הקוונטי $m_{s}$ נקרא מספר קוונטי ספיני שניוני והוא רשאי לקבל שערכם המוחלט קטן או שווה ל- $s$ בקפיצות של 1. כלומר $m_{s}=-s,-s+1,\dots ,s-1,s$ .

תנע זוויתי כולל

ערך מורחב – מקדמי קלבש-גורדן

בבעיות פיזיקליות רבות יכולים להינתן שני אופרטורי תנע זוויתי $\mathbf {J_{1}} ,\mathbf {J_{2}}$ אשר כל רכיביהם חילופיים אחד עם השני, כלומר $[J_{1,i},J_{2,j}]=0$ לכל $i,j$ . אופרטורים אלו יכולים להיות האופרטורים $\mathbf {L} ,\mathbf {S}$ של אותו החלקיק, או לחלופין אופרטורי תנע זוויתי כלשהם של שני חלקיקים שונים באותה מערכת פיזיקלית.

מאחר שכל הרכיבים של $\mathbf {J_{1}} ,\mathbf {J_{2}}$ חילופיים אלה עם אלה, ניתן לבנות בסיס מצבים עצמיים משותף לאופרטורים $J_{1}^{2},J_{1,z},J_{2}^{2},J_{2,z}$ . בסיס זה נקרא בסיס המכפלה והוא בנוי על-ידי המכפלה הטנזורית של הבסיסים $|j_{1}m_{1}\rangle$ של $J_{1}^{2},J_{1,z}$ ו- $|j_{2}m_{2}\rangle$ של $J_{2}^{2},J_{2,z}$ . נהוג לסמן את איברי בסיס זה בסימון $|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle$ .

עם זאת, ייתכן ובמערכת הפיזיקלית הנתונה ישנו צימוד בין שני התנעים, כלומר מופיע איבר מהצורה $J_{1,i}J_{2,j}$ בהמילטוניאן. בבעיות מסוג זה בסיס המכפלה אינו נוח לפתרון הבעיה.

לשם כך ניתן להגדיר את התנע הזוויתי הכולל להיות $\mathbf {J} :=\mathbf {J_{1}} +\mathbf {J_{2}}$ . זהו אופרטור וקטורי אשר גם אותו ניתן לפרקו לרכיביו $J_{x},J_{y},J_{z}$ ולהגדיר עבורו את האופרטור $J^{2}$ .

$\mathbf {J}$ ורכיביו מקיימים את כל יחסי החילוף של שאר אופרטורי התנע הזוויתי. מסיבה זו ניתן להגדיר בסיס מצבים עצמיים חדש המשותף לאופרטורים $J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}$ . בסיס זה נקרא בסיס הסכום ואיבריו מסומנים ב- $|j_{1}j_{2}JM\rangle$ . במקרים רבים מצבים עצמיים אלו יהיו מצבים עצמיים נוחים יותר לפתרון הבעיה הפיזיקלית.

עבור המצבים העצמיים $|j_{1}j_{2}JM\rangle$ , $J$ מקבל ערכים בין $|j_{1}-j_{2}|$ ל- $j_{1}+j_{2}$ בקפיצות של 1. כמו כן $M$ מקבל ערכים בין $-J$ ל- $J$ בקפיצות של 1. באופן כללי, אם אחד מהאופרטורים בסכום יכול לקבל ערכי תנע זוויתי חצי שלמים (כמו אופרטור ספיני למשל), אזי גם $J$ יכול לקבל ערכים חצי שלמים. אחרת, $J$ מקבל מספרים שלמים אי-שליליים בלבד.

ניתן לעבור מבסיס המכפלה לבסיס הסכום ולהפך על-ידי פעולת חיבור תנע זוויתי ושימוש במקדמי קלבש-גורדן.

אופרטורי סולם

בהינתן אופרטור תנע זוויתי $\mathbf {J}$ כלשהו (אורביטלי, ספיני או כולל), נגדיר את האופרטורים:

$J_{+}:=J_{x}+iJ_{y}$

$J_{-}:=J_{x}-iJ_{y}$

עבור בסיס המצבים העצמיים $|j,m\rangle$ של האופרטורים $J^{2}$ ו- $J_{z}$ מתקיים כי:

$J_{+}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle$

$J_{-}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle$

כלומר, אופרטורים אלו מעלים ומורידים את המספר הקוונטי המגנטי. במקרים רבים ניתן להשתמש באופרטורים אלו כדי למצוא את מקדמי קלבש-גורדן.

קשר לאופרטור סיבוב

בהינתן וקטור יחידה ${\hat {n}}$ כלשהו ( ${\hat {n}}$ שהנורמה שלו שווה ל-1), ניתן להגדיר את האופרטור $R({\hat {n}},\theta )$ להיות אופרטור סיבוב סביב הציר ${\hat {n}}$ ב- $\theta$ רדיאנים נגד כיוון השעון. אם מגדירים את $L_{\hat {n}}:={\hat {n}}\cdot \mathbf {L}$ להיות התנע הזוויתי סביב ${\hat {n}}$ , ניתן להראות כי מתקיים השוויון:

$R({\hat {n}},\theta )=\exp \left({\frac {-i\theta L_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)$

כלומר, $L_{\hat {n}}$ הוא האופרטור היוצר של סיבוב סביב ${\hat {n}}$ . לכן, על-פי משפט נתר, במערכות פיזיקליות שבהן יש סימטריה לסיבוב סביב ${\hat {n}}$ , הגודל של $L_{\hat {n}}$ נשמר. מעבר לכך, במערכות שבהן יש סימטריה לכל הסיבובים, כל איברי $\mathbf {L}$ נשמרים.

הקשר בין אופרטורי התנע הזוויתי לאופרטורי סיבוב מקנה נקודת מבט גאומטרית יותר על יחסי החילוף הקנוניים בין האופרטורים $L_{x},L_{y},L_{z}$ , במסגרתה אי-החילופיות שלהם נובעת מאי-החילופיות של סיבובים מרחביים. למשל, הפעלת אופרטור סיבוב בזווית אינפיניטסימלית $R_{1}({\hat {x}},\epsilon _{1})$ סביב ציר x ולאחריו אופרטור סיבוב בזווית אינפיניטסימלית $R_{2}({\hat {y}},\epsilon _{2})$ סביב ציר y, אינה שקולה במדויק להפעלת אותם הסיבובים בסדר הפוך. ניתן להראות בדרך גאומטרית לחלוטין שההבדל בין שני אופני הסיבוב, שהוא למעשה יחס החילוף של אופרטורי הסיבוב שתוארו מקודם ( $[R_{1},R_{2}]=R_{1}R_{2}-R_{2}R_{1}$ ), שקול לאופרטור המייצג סיבוב בזווית $\epsilon _{1}\epsilon _{2}$ סביב ציר z. מעובדה זאת ומן הקשר בין $R({\hat {n}},\theta )$ ל- $L_{\hat {n}}$ ניתן לגזור אלגברית את יחס החילוף $[L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z}$ , ובדומה לכך את יחסי החילוף האחרים.