אי-שוויון איזופרימטרי

אי-שוויון אִיזוֹפֶּרִימֶטְרִי הכרוך בבעיה אִיזוֹפֶּרִימֶטְרִית (בעיה שומרת-היקף), הוא תואר שניתן בשימוש מודרני למספר אי-שוויונות העוסקים ביחס המקסימלי בין שטח קבוצה לאורך מעטפתה. בשימוש המקורי של המונח, במישור, הייתה הבעיה קביעת השטח המרבי שניתן לתחום במישור בצורה סגורה בעלת היקף נתון, והיא שקולה לבעיית קביעת ההיקף המינימלי של צורה בעלת שטח נתון. ניתן להכליל את הבעיה גם לממדים נוספים ולקבוצות שאינן מרחבים אוקלידיים.

הבעיה האיזופרימטרית על המישור

העקומה שממקסמת את השטח שאנו מחפשים חייבת להיות קמורה. אם אינה קמורה, ניתן "להפוך" קטע קעור שלה לקמור ולקבל עקומה באותו אורך שתוחמת שטח גדול יותר.

אם הנקודות x ו-y מחלקות את העקומה לשני מקטעים שווים בגודלם, הרי שהשטחים A ו-B חייבים להיות שווים; אם לא, ניתן למחוק את חצי העקומה שבצד הקטן יותר, לשקף את חצי העקומה שבצד הגדול יותר ולהגדיל בכך את השטח התחום מבלי לשנות את אורך העקומה.

הבעיה האיזופרימטרית על המישור היא מציאת עקומה, מבין כל העקומות הסגורות בעלות אורך נתון, שממקסמת את השטח שהיא תוחמת (אם יש כזו), או, לחלופין, מציאת עקומה בעלת אורך מינימלי שתוחמת שטח נתון (אם יש כזו). פתרון הבעיה הוא שיש בדיוק עקומה אחת כזו, והיא מעגל. מהבעיה נגזר אי-השוויון האיזופרימטרי על המישור, לפיו אם L אורך עקומה סגורה, ו-A השטח התחום על ידיה, הרי ש:

$A\leq {\frac {L^{2}}{4\pi }}$.

שוויון מתקבל רק כאשר העקומה היא מעגל.

עבור כל עקומה סגורה, המקדם האיזופרימטרי הוא היחס בין השטח התחום בתוכה לשטח מעגל שהיקפו זהה. כלומר, אם Q הוא המקדם האיזופרימטרי, $$Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}$$ ואי-השוויון האיזופרימטרי אומר ש $Q\leq 1$.

משפט דומה אומר שמבין כל המצולעים בעלי היקף נתון ו-n צלעות, השטח שמקיף המצולע המשוכלל הוא הגדול ביותר. המקדם האיזופרימטרי של מצולע משוכלל שכזה הוא:

$Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan {\tfrac {\pi }{n}}}}$.

רקע היסטורי

הבעיה האיזופרימטרית ופתרונה היו ידועים כבר ליוונים הקדמונים. פאפוס ותיאון מאלכסנדריה, מתמטיקאים יוונים שחיו במאה הרביעית לספירה, הזכירו את הבעיה בכתביהם וייחסו את התוצאות לזנודורוס , מתמטיקאי שחי במאה השנייה לפנה"ס ושכתביו אבדו. הוכחת זנודורוס (כפי שהובאה בידי פאפוס) אינה שוקלת במקרי קצה, ואין בה כדי לשכנע מתמטיקאי מודרני. גם ארכימדס חקר את הבעיה, אך עבודתו אבדה.

בתקופת הרנסאנס ובעת החדשה שב והתחדש העניין בבעיה. קפלר התייחס לבעיה בחוקרו את צורת מערכת השמש. יאקוב ברנולי היה הראשון שנתן לה ניסוח מודרני, ולאונרד אוילר חקר אותה. בשנת 1842 פרסם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב שטיינר הוכחה גאומטרית טהורה לבעיה, אולם דיריכלה הצביע על שגיאה: שטיינר הראה שאם קיימת עקומה הממקסמת את השטח, היא חוסמת מעגל; עדיין ייתכן שיש סדרה של עקומות באותו אורך, החוסמות שטחים הולכים וגדלים, אף על פי שאף אחת מהן אינה חוסמת מעגל. ויירשטראס הוא שסיפק את ההוכחה המלאה הראשונה במקרה הדו־ממדי. ההוכחה הראשונה למקרה התלת-ממדי (ראו למטה) ניתנה בידי המתמטיקאי הגרמני הרמן שוורץ (Hermann Schwarz) ב-1890. ב-1902 פרסם אדולף הורוויץ (Adolf Hurwitz) הוכחה כללית שהסתמכה על טורי פורייה.

"דידו רוכשת קרקע עבור ייסוד קרתגו" מאת מתאוס מריאן (Matthäus Merian)

הבעיה האיזופרימטרית ידועה גם כ"הבעיה של דידו", על שם דידו, מייסדת קרתגו ומלכתה הראשונה. לפי האגדה, דידו, שנחתה בחופי צפון אפריקה אחרי שברחה מצור, ביקשה מבני המקום רשות להקים עיר על השטח שתוכל לכסות בעורו של פר. היא גזרה את עור הפר לרצועות והקיפה בהן גבעה שלמה, שהספיקה לה לבניית קרתגו. הסיפור מופיע באיניאס של ורגיליוס, שנכתב במאה הראשונה לפנה"ס:

Devenere locos, ubi nunc ingentia cernis
moenia surgentemque novae Karthaginis arcem,
mercatique solum, facti de nomine Byrsam,
taurino quantum possent circumdare tergo.

— Aeneis I, 365-369

לפי גרסאות אחרות של הסיפור, דידו רצתה כי עירה תפנה אל הים, והקיפה רק חצי עיגול, כשקו החוף משלים את החסר. אם מניחים כי קו החוף ישר, הרי שזו אותה בעיית מקסימיזציה.

הבעיה האיזופרימטרית על הספֵירה

גם על כדור תלת-ממדי מעגל הוא הצורה המאפשרת לתחום שטח נתון בהיקף הקטן ביותר. אין זה משנה אם השטח שאנו מבקשים לתחום הוא זה הצבוע באדום או זה הצבוע בכחול.

תהי C עקומה סגורה על ספירה ברדיוס 1, ויהי A השטח התחום בתוכה. אי-השוויון האיזופרימטרי על הספירה אומר כי:

$L^{2}\,\leq \,A(4\pi -A)$,

וכי שוויון מתקבל רק אם העקומה היא מעגל. משפט זה הוכח ב-1919 בידי המתמטיקאי הצרפתי פול לוי.

הבעיה האיזופרימטרית במרחבים אוקלידיים ממימד שרירותי

אי-השוויון האיזופרימטרי הוא הנותן לבועת סבון את צורתה הכדורית. נפח האוויר הלכוד בבועה קבוע, ומתח הפנים של המים כופה עליהם את הצורה בעלת שטח הפנים הקטן ביותר.

ניתן להכליל את הבעיה האיזופרימטרית למרחבים אוקלידיים מכל מימד: במרחב ממימד n, השטח המינימלי של צורה המכילה נפח נתון הוא שטח הפנים של ספירה ממימד n-1. עבור מרחבים בני שלושה ממדים, הצורה המתקבלת היא כדור, ואי השוויון הוא: $$V\leq {\frac {A^{3/2}}{6\pi ^{1/2}}}$$ כאשר V נפח החלל התחום ו-A שטח הפנים של המעטפת.

ככלל, לכל קבוצה $S\subset R^{n}$ שלסגור שלה מידת לבג סופית, $$n\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S}})^{(n-1)/n}\leq M_{*}^{n-1}(\partial S)$$ כאשר $M_{*}^{n-1}$ היא תכולת מינקובסקי ה-n-1-ממדית, $L^{n}$ היא מידת לבג ה-n-ממדית, ו-$\omega _{n}$ הוא נפח כדור היחידה ב-$R^{n}$.

הבעיה האיזופרימטרית על גרפים

מקור המונח "הבעיה האיזופרימטרית" במרחבים רציפים, אך בחלוף השנים ניתן שם זה גם לבעיות מעל קבוצות דיסקרטיות, ובכללן גרפים.

כדי לדון בבעיה האיזופרימטרית על גרפים, עלינו להגדיר מהו "שטח" ומהו "היקף". נאמר כי שטח תת-קבוצה של צומתי הגרף הוא מספר הצמתים בה. ניתן שתי הגדרות שונות לגבול:

• גבול צמתים: קבוצת הצמתים שאינם שייכים לתת-הקבוצה אבל יש קשת בינם לבין צומת בה. כלומר, גבול תת-הקבוצה $S$ יהיה $\delta _{v}(S)=\{v\notin S:v\sim u,u\in S\}$.
• גבול קשתות: קבוצת הקשתות בין איברי הקבוצה לאיברים שמחוצה לה. כלומר, גבול תת-הקבוצה $S$ יהיה $\delta _{e}(S)=\{(x,y)\in E(G):x\in S,y\notin S\}$.

במקום היקף, נדבר על עצמת הגבול (עבור גבול סופי זהו מספר הצמתים בגבול). הבעיה האיזופרימטרית על גרף, אם כן, היא: בהינתן גרף G ומספר צמתים חיובי m, מצא את: $$f(m)=\min \limits _{S\subset V}\{|\delta (S)|:|S|=m,S\subset V(G)\}$$

מטבע הדברים, אין לבעיה האיזופרימטרית פתרון כללי עבור כל סוגי הגרפים, אבל יש פתרונות עבור סוגים ספציפיים.

הבעיה האיזופרימטרית על קוביות-על

אם בוחרים שני צמתים בקוביה ארבע-ממדית, יהיה להם לכל הפחות שישה שכנים.

תהי G קוביית-על (hypercube) ממימד n. נראה את פתרון הבעיה האיזופרימטרית עבור גבולות צמתים.

נגדיר כדור המינג מסביב לצומת v כך: $$B_{r}(v)=\{u:d(u,v)\leq r\}$$

נגדיר קבוצה כ"כמעט כדור המינג" אם היא כדור המינג שחסרים בו צמתים רק, אולי, בשכבה החיצונית. עם הגדרה זו ניתן לתת ערך מדויק לפונקציה f לעיל: $$f(m)=min\{|\delta _{v}(S)|:|S|=m,S~is~a~near~Hamming~ball\}$$

הבעיה האיזופרימטרית על רשתות

ברשת דו־ממדית זו בחרנו 13 צמתים (באדום), להם גבול קשתות בן 8 קשתות (בכחול).

יהי G גרף רשת (grid) בן n ממדים בו על כל צלע k נקודות (כלומר, גודל הגרף הוא $k^{n}$). אם נבחר תת-קבוצה של הצמתים A כך ש- $k^{n}/4\leq |A|\leq 3k^{n}/4$, נקבל כי גודל גבול הקשתות (כלומר, מספר הקשתות בין תת-הקבוצה למשלים שלה) הוא לפחות $k^{n-1}$ (בולובס ולידר, 1991).

שימושים

אי שוויונות איזופרימטריים נפוצים ביותר בקומבינטוריקה קיצונית, משום הדרך שהם נותנים לטפל בבעיות סף.

נגדיר "תכונה מונוטונית" כתכונה הנשמרת בהכלה כלפי מעלה. דוגמאות לתכונות מונוטוניות של גרפים הן קשירות, קיום קליקה מגודל מסוים, קיום מעגל המילטוני, מותן שאינו עולה על ערך מסוים וכן הלאה. נגדיר פונקציה f שמקבלת ערך p בין 0 ל-1 ומחזירה את ההסתברות שבה, אם נבחר כל אלמנט (במקרה של גרפים - קשת) בהסתברות p, נקבל את התכונה. אזי הלמה של רוסו קושרת בין הנגזרת של f לבין המידה שבה ניתן להרחיב קבוצה באמצעות הגבול שלה, ובכך מאפשרת, בהינתן מבנה הגרף, ללמוד על התנהגות f באמצעות חקירת הבעיה האיזופרימטרית. בכך ניתן, למשל, להוכיח שלכל תכונה מונוטונית שנשמרת תחת איזומורפיזם, קיים גודל (המכונה "סף חד") כך שאם מגרילים כל אלמנט בהסתברות קטנה ממנו, התכונה מתקיימת בהסתברות זניחה, ואילו אם מגרילים בהסתברות גדולה ממנו, התכונה מתקיימת כמעט בוודאות.

ביבליוגרפיה

• Bogomolny, Alexander. "Isoperimetric Theorem from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles". Cut The Knot. נבדק ב-2010-01-30.
• Siegel, Alan. "A Historical Review of the Isoperimetric Theorem in 2-D, and its place in Elementary Plane Geometry" (PDF).
• Wiegert, Jennifer. "The Sagacity of Circles: A History of the Isoperimetric Problem". MathDL: The MAA Mathematical Sciences Digital Library. אורכב מ-המקור ב-2013-05-03. נבדק ב-2010-01-31.
• Treibergs, Andrejs. "Inequalities that Imply the Isoperimetric Inequality" (PDF).
• Chung, Fan (2005-11-02), The Isoperimetric Problem on the Hypercube (lecture notes by Steve Butler).
• Bollobás, Béla; Leader, Imre (1991-12-01). "Edge-isoperimetric inequalities in the grid". Combinatorica. pp. 299–314. doi:10.1007/BF01275667. נבדק ב-2010-01-31.

ראו גם

• גאומטריה סיסטולית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון איזופרימטרי בוויקישיתוף

• אי-שוויון איזופרימטרי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• אי-שוויון איזופרימטרי, באתר MathWorld (באנגלית)