הביטוי לצפיפות הזרם הוא המטען המשויך לאלקטרון,
−
e
{\displaystyle -e}
, אשר במצב אנרגטי
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
, מוכפל במהירות החבורה המשויכת למצב,
v
→
k
→
{\displaystyle {\vec {v}}_{\vec {k}}}
, כפול צפיפות המצבים ליח' נפח,
D
(
k
→
)
{\displaystyle D({\vec {k}})}
, כפול פונקציית צפיפות ההסתברות המתארת את האפשרות לכך שהמצב
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
מאוכלס,
f
(
k
→
)
{\displaystyle f({\vec {k}})}
. בסכמה על כל המצבים:
זרם תרמו אלקטרי
j
→
elec
=
−
e
∫
v
→
k
→
D
(
k
→
)
f
(
k
→
)
d
3
k
{\displaystyle {\vec {j}}_{\text{elec}}=-e\int {\vec {v}}_{\vec {k}}D({\vec {k}})f({\vec {k}})d^{3}k}
בקירוב Relaxation time , ללא שדה מגנטי חיצוני, פונקציית צפיפות ההסתברות היא:
f
(
k
→
,
r
→
)
≈
f
0
(
k
→
,
r
→
)
−
τ
(
k
→
)
ℏ
∂
f
0
∂
μ
∇
k
→
E
(
k
→
)
⋅
(
e
E
→
+
∇
r
→
μ
+
E
(
k
→
)
−
μ
T
∇
r
→
T
)
{\displaystyle f({\vec {k}},{\vec {r}})\approx f_{0}({\vec {k}},{\vec {r}})-{\frac {\tau ({\vec {k}})}{\hbar }}{\frac {\partial f_{0}}{\partial \mu }}\nabla _{\vec {k}}E({\vec {k}})\cdot \left(e{\vec {E}}+\nabla _{\vec {r}}\mu +{\frac {E({\vec {k}})-\mu }{T}}\nabla _{\vec {r}}T\right)}
כאשר
f
0
{\displaystyle f_{0}}
, התפלגות פרמי-דיראק :
f
0
(
k
→
)
=
1
1
+
exp
(
E
(
k
→
)
−
μ
k
B
T
)
{\displaystyle f_{0}({\vec {k}})={\frac {1}{1+\exp \left({\frac {E({\vec {k}})-\mu }{k_{B}T}}\right)}}}
הביטוי הכללי לצפיפות הזרם במוליך בהשפעת גרדיאנט טמפרטורה נתון על ידי:
j
→
elec
=
−
e
4
π
3
ℏ
∫
∇
k
→
E
(
k
→
)
(
f
0
(
k
→
,
r
→
)
−
τ
(
k
→
)
ℏ
∂
f
0
∂
μ
∇
k
→
E
(
k
→
)
⋅
(
e
E
→
+
∇
r
→
μ
+
E
(
k
→
)
−
μ
T
∇
r
→
T
)
)
d
3
k
.
{\displaystyle {\vec {j}}_{\text{elec}}=-{\frac {e}{4\pi ^{3}\hbar }}\int \nabla _{\vec {k}}E({\vec {k}})\left(f_{0}({\vec {k}},{\vec {r}})-{\frac {\tau ({\vec {k}})}{\hbar }}{\frac {\partial f_{0}}{\partial \mu }}\nabla _{\vec {k}}E({\vec {k}})\cdot \left(e{\vec {E}}+\nabla _{\vec {r}}\mu +{\frac {E({\vec {k}})-\mu }{T}}\nabla _{\vec {r}}T\right)\right)d^{3}k.}
איבר האינטגרל על התפלגות פרמי-דיראק נעלם, בשיווי משקל תרמי המצבים המאוכלסים של המצב
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
זהים לאלו המאוכלסים על ידי המצב
−
k
→
{\displaystyle -{\vec {k}}}
סך הכל מתקבלת המשוואה הבאה לצפיפות הזרם:
j
→
elec
=
e
4
π
3
ℏ
2
∫
τ
(
k
→
)
∂
f
0
∂
μ
∇
k
→
E
(
k
→
)
(
∇
k
→
E
(
k
→
)
⋅
(
e
E
→
+
∇
r
→
μ
+
E
(
k
→
)
−
μ
T
∇
r
→
T
)
)
d
3
k
.
{\displaystyle {\vec {j}}_{\text{elec}}={\frac {e}{4\pi ^{3}\hbar ^{2}}}\int \tau ({\vec {k}}){\frac {\partial f_{0}}{\partial \mu }}\nabla _{\vec {k}}E({\vec {k}})\left(\nabla _{\vec {k}}E({\vec {k}})\cdot \left(e{\vec {E}}+\nabla _{\vec {r}}\mu +{\frac {E({\vec {k}})-\mu }{T}}\nabla _{\vec {r}}T\right)\right)d^{3}k.}
ניתן לבטא את היחס בין צפיפות הזרם לגרדיאנט הטמפרטורה בכתיב מטריצי באמצעות כפל במטריצת מקדמים:
[
j
x
j
y
j
z
]
=
[
κ
x
x
κ
x
y
κ
x
z
κ
y
x
κ
y
y
κ
y
z
κ
z
x
κ
z
y
κ
z
z
]
[
∂
T
∂
x
∂
T
∂
y
∂
T
∂
z
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}j_{x}\\j_{y}\\j_{z}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccc}\kappa _{xx}&\kappa _{xy}&\kappa _{xz}\\\kappa _{yx}&\kappa _{yy}&\kappa _{yz}\\\kappa _{zx}&\kappa _{zy}&\kappa _{zz}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccc}{\frac {\partial T}{\partial x}}\\{\frac {\partial T}{\partial y}}\\{\frac {\partial T}{\partial z}}\\\end{array}}\right]}
כאשר איברי מטריצת המקדמים נקראים מקדמי סיבק (אנ' ) , אשר מקיימים:
κ
i
j
=
e
4
π
3
ℏ
2
T
∫
τ
(
k
→
)
∂
f
0
∂
μ
∇
k
→
E
(
k
→
)
⋅
e
^
i
(
E
(
k
→
)
−
μ
)
∇
k
→
E
(
k
→
)
⋅
e
^
j
d
3
k
{\displaystyle \kappa _{ij}={\frac {e}{4\pi ^{3}\hbar ^{2}T}}\int \tau ({\vec {k}}){\frac {\partial f_{0}}{\partial \mu }}\nabla _{\vec {k}}E({\vec {k}})\cdot {\hat {e}}_{i}\left(E({\vec {k}})-\mu \right)\nabla _{\vec {k}}E({\vec {k}})\cdot {\hat {e}}_{j}d^{3}k}
כאשר
e
^
i
{\displaystyle {\hat {e}}_{i}}
וקטור יחידה,
i
=
[
x
,
y
,
z
]
{\displaystyle i=[x,y,z]}
. עבור גביש קיובי, מקדמי סיבק הם קבועים:
κ
=
e
4
π
3
ℏ
2
T
∫
τ
(
k
→
)
∂
f
0
∂
μ
(
E
(
k
→
)
−
μ
)
(
∇
k
→
E
(
k
→
)
⋅
z
^
)
2
d
3
k
.
{\displaystyle \kappa ={\frac {e}{4\pi ^{3}\hbar ^{2}T}}\int \tau ({\vec {k}}){\frac {\partial f_{0}}{\partial \mu }}\left(E({\vec {k}})-\mu \right)\left(\nabla _{\vec {k}}E({\vec {k}})\cdot {\hat {z}}\right)^{2}d^{3}k.}
κ
=
e
3
π
2
T
∫
0
∞
τ
(
k
→
)
∂
f
0
∂
μ
(
E
(
k
→
)
−
μ
)
|
v
→
k
→
|
2
k
2
d
k
.
{\displaystyle \kappa ={\frac {e}{3\pi ^{2}T}}\int \limits _{0}^{\infty }\tau ({\vec {k}}){\frac {\partial f_{0}}{\partial \mu }}\left(E({\vec {k}})-\mu \right)\left|{\vec {v}}_{\vec {k}}\right|^{2}k^{2}dk.}