מודול האלסטיות

בהנדסת חומרים, מודול האלסטיות של חומר או מודול יאנג (על שם תומאס יאנג) הוא היחס בין מאמץ (כוח ליחידת שטח בחומר) לעיבור (השינוי היחסי בממדי החומר), או בניסוח פשוט יותר ההתנגדות של החומר לשינוי קטן בצורתו עקב כוח המופעל עליו, בתחום האלסטי, כלומר התחום בו היחס בין מאמץ לעיבור שומר על ליניאריות. בשינוי אלסטי החומר חוזר למצבו המקורי כאשר הכוח מוסר. הדיאגרמה המציגה את היחס בין המאמץ והעיבור מכונה עקומת מאמץ-עיבור, והיא מציגה את היחס ביניהם בכל תחום נתון (כולל זה שאינו מתחום מודול האלסטיות). במודלים פשוטים של חוזק, הדיאגרמה פשוטה יחסית והחומר מתנהג בצורה עקבית. במודלים מסובכים יותר ובחומרים מורכבים הקשר בין מאמץ לעיבור חדל להיות ליניארי. מודול האלסטיות הוא ערך המבטא את הגמישות של החומר.

עקומת מאמץ-עיבור אופינית לפלדה רכה בעלת אזור נזילה (החלק השקוע בגרף).
שיפוע הקו עד גבול הפרופורציונליות הוא מודול האלסטיות או מודול יאנג של החומר

עקומת מאמץ-עיבור אופינית למתכת ללא נקודת נזילה

מודול האלסטיות

ראו גם – עקומת מאמץ-עיבור

הקשר בין המאמץ לבין העיבור מגדיר את מודול האלסטיות:

$\ E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}$

או

$\sigma =E*\varepsilon$

הביטוי הזה ידוע גם כחוק הוק.

• $\ E$ - מודול האלסטיות
• $\ \varepsilon$ - עיבור
• $\ \sigma$ - מאמץ

במוט המועמס למתיחה, העיבור הוא ההתארכות היחסית:

${\varepsilon }={\frac {\Delta L}{L}}$

• L - אורך החלק
• ${\Delta L}$ - השינוי באורך

תחום האלסטיות (המגדיר את מודול האלסטיות) הוא התחום בו התיאור של עקומת מאמץ-עיבור בצורת הוא ליניארי (הקו הישר שבדיאגרמה).

מודול הגזירה

ערך מורחב: מודול הגזירה

הקשר בין מודול האלסטיות לבין מודול הגזירה נתון על ידי הביטוי:

$\ G={\frac {E}{2(1+\nu )}}$

• $\ G$ - מודול הגזירה
• $\ \nu$ מקדם פואסון

הערה: הערכים של מודול האלסטיות, מודול הגזירה, העיבור וערכי המאמץ בדיאגרמת מאמץ-עיבור הם ערכים התלויים ומושפעים מהטמפרטורה של החומר. מבחן המתיחה נערך בטמפרטורת סביבה מוגדרת ומבוקרת.

מצב מאמצים ומעוותים מרחבי

מאמץ מתיחה בכיוון x גורם למתיחת המוט בכיוון x, ולהתכווצות המוט בכיוונים הניצבים y,z בשעור המתקבל מהמכפלה של המאמץ בכיוון x במקדם פואסון. כך גם בכוונים y,z. חוק הוק המוכלל למצב מאמצים תלת-ממדי, מתקבל משלוש מתיחות חד-ציריות לכל אחד מהכיוונים ושימוש בעקרון הסופרפוזיציה:

$\epsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{y}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{z}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})]$

$\epsilon _{y}={\frac {\sigma _{y}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{z}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{z})]$

$\epsilon _{z}={\frac {\sigma _{z}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{y}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})]$

בחוק הוק עבור חומרים כלליים יותר מקפיץ, k הוא טנזור והוא מיוצג על ידי מטריצה של קשיחות החומר בגודל 9x9. אם החומר הוא ליניארי, אלסטי ואיזוטרופי, נדרשים שני קבועים על מנת לקבוע את התנהגותו תחת מאמצים: מודול האלסטיות $\ E$ ומודול הגזירה $\ G$. כאשר עוסקים במקרה של קפיץ שלא מופעלים עליו כוחות גזירה אז מקבלים את המקרה הפרטי של הקפיץ בו מודול האלסטיות הוא קבוע הקפיץ $\ k$.

ערכים של מודול האלסטיות למספר חומרים

מודול האלסטיות לחומרים שונים
חומר	מודול האלסטיות (E)בג’יגה פסקל (Gpa)	מודול האלסטיות (E) ליברה לאינצ’ מרובע
גומי בתזוזות קטנות	0.01-0.1	1,500-15,000
פוליאתילן	1.5-2	217,000-290,000
פוליאסטר	3-3.5	435,000-505,000
ניילון	2-4	290,000-580,000
בטון בלחיצה	30	4,350,000
מגנזיום	45	6,500,000
אלומיניום	70	10,000,000
זכוכית	72	10,400,000
ברונזה	103-124	17,000,000
טיטניום	105-120	15,000,000-17,500,000
ברזל ופלדה	190-210	30,000,000
יהלום	1,050-1,200	150,000,000-175,000,000

הקשר בין מודולי האלסטיות בחומרים אחידים בעלי תכונות זהות בכל הכוונים
מודול יאנג ($\ E$) | מודול הגזירה ($\ \mu$) | מקדם פואסון ($\ \nu$) | הקבוע הראשון של לאמה ($\ \lambda$) | מודול הנפח ($\ K$) כל אחד מקבועי האלסטיות יכול להיות מוגדר באמצעות אחד מזוגות הקבועים האחרים.
$(\lambda ,\,\mu )$ $(E,\,\mu )$ $(K,\,\lambda )$ $(K,\,\mu )$ $(\lambda ,\,\nu )$ $(\mu ,\,\nu )$ $(E,\,\nu )$ $(K,\,\nu )$ $(K,\,E)$ $=K\,$ מודול הנפח $\lambda +{\frac {2\mu }{3}}$ ${\frac {E\mu }{3(3\mu -E)}}$ / / $\lambda {\frac {1+\nu }{3\nu }}$ ${\frac {2\mu (1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$ ${\frac {E}{3(1-2\nu )}}$ / / $=E\,$ מודול יאנג $\mu {\frac {3\lambda +2\mu }{\lambda +\mu }}$ / $9K{\frac {K-\lambda }{3K-\lambda }}$ ${\frac {9K\mu }{3K+\mu }}$ ${\frac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$ $2\mu (1+\nu )\,$ / $3K(1-2\nu )\,$ / $=\lambda \,$ הקבוע של לאמה / $\mu {\frac {E-2\mu }{3\mu -E}}$ / $K-{\frac {2\mu }{3}}$ / ${\frac {2\mu \nu }{1-2\nu }}$ ${\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$ ${\frac {3K\nu }{1+\nu }}$ ${\frac {3K(3K-E)}{9K-E}}$ $=\mu \,$ מודול הגזירה / / $3{\frac {K-\lambda }{2}}$ / $\lambda {\frac {1-2\nu }{2\nu }}$ / ${\frac {E}{2+2\nu }}$ $3K{\frac {1-2\nu }{2+2\nu }}$ ${\frac {3KE}{9K-E}}$ $=\nu \,$ מקדם פואסון ${\frac {\lambda }{2(\lambda +\mu )}}$ ${\frac {E}{2\mu }}-1$ ${\frac {\lambda }{3K-\lambda }}$ ${\frac {3K-2\mu }{2(3K+\mu )}}$ / / / / ${\frac {3K-E}{6K}}$

לקריאה נוספת

• G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0882754203
• Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976.
• S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970. 1991.

• Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991, ISBN 1560326867
• McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Book Company 1983, ISBN 0-07-045486-8

קישורים חיצוניים

• מאגר נתונים לחומרים שונים, באנגלית
• מודול האלסטיות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)