קבועי לאמה

קבועי לאמה (Lamé) הם קבועים המחושבים מתכונות החומר והמשמשים בהצגת הקשרים בין מאמצים לבין מעוותים של חומרים אלסטיים ליניאריים. הקבועים המשמשים בתורת האלסטיות נקראים על שמו של המתמטיקאי גבריאל לאמה, Gabriel Lamé שחי בצרפת מיולי 1795 עד מאי 1870, השימוש בקבועי לאמה היא דרך נוספת להצגת התכונות האלסטיות של החומר ושל חוק הוק. השימוש בדרכים השונות להצגת התכונות האלסטיות של החומר קשור להתפתחות ההיסטורית של תורת החוזק ושל תורת האלסטיות.

הקבועים של לאמה

הקבוע הראשון של לאמה

$\lambda ={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$

הקבוע השני של לאמה

$\mu =G={\frac {E}{2(1+\nu )}}$

כאשר:

• $\ E$ - מודול האלסטיות
• $\ G$ - מודול הגזירה
• $\ \nu$ - מקדם פואסון

הקבוע השני של לאמה מוכר גם כמודול הגזירה.

הקבוע הראשון של לאמה והקבוע השני של לאמה, בדומה למודול האלסטיות, הם גדלים בעלי ממדים של מאמץ, כלומר, כח ליחידת שטח, למשל ג'יגה פסקל, ניוטון למטר מרובע או ליברה לאינץ' מרובע.

דוגמאות ושימושים

הקשר בין מאמץ לבין מעוות

את הקשר בין מאמצים לבין מעוותים בחומרים אלסטיים ליניאריים מציגים בדרך כלל באמצעות חוק הוק, ישירות באמצעות מודול האלסטיות ובאמצעות מקדם פואסון. קבועי לאמה משמשים בהצגת קשרים בין מאמצים לבין מעוותים בחומרים אלסטיים ליניאריים בדרך נוספת. לדוגמה:

נסמן את סכום המעוותים היחסיים הראשיים:

$e=\ \epsilon _{x}+\epsilon _{y}+\epsilon _{z}$

ואת סכום המאמצים בכוונים הראשיים:

$S=\ \sigma _{x}+\sigma _{y}+\sigma _{z}$

מתקיים הקשר בין ההתפשטות הנפחית לבין סכום המאמצים הראשיים:

$e={\frac {(1-2\nu )}{E}}S$

בלחץ הידרוסטטי אחיד $\ \sigma _{x}=\sigma _{y}=\sigma _{z}=-p$:

$e=-{\frac {3(1-2\nu )}{E}}p$

הביטוי הזה מציג את הקשר בין יחידת ההתפשטות הנפחית e לבין הלחץ ההדרוסטטי הפועל על הקובייה.

${\frac {E}{3(1-2\nu )}}$

הוא ביטוי הנקרא מודול ההתפשטות הנפחית ובאנגלית Bulk Modulus.

חוק הוק התלת־ממדי מציג את המעוות כתלות בשלושת המאמצים הראשיים וכתלות בתכונות החומר - מודול האלסטיות ומקדם פואסון:

$\epsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{y}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{z}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})]$

$\epsilon _{y}={\frac {\sigma _{y}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{z}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{z})]$

$\epsilon _{z}={\frac {\sigma _{z}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{y}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})]$

פותרים את המשוואות עבור המאמצים הראשיים בתנאי של לחץ הדרוסטטי אחיד ששעורו p-

לכל אחד מהכוונים i = x,y,z מקבלים ביטוי הקושר בין המאמץ לבין המעוות:

$\sigma _{i}={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}e+{\frac {E}{(1+\nu )}}\epsilon _{i}$

את הקשר בין המאמצים לבין המעוותים בתנאי של לחץ הידרוסטטי אחיד אפשר להציג בצורה פשוטה תוך שימוש בקבועי לאמה:

$\sigma _{x}=\ \lambda e+2\mu \epsilon _{x}$

$\sigma _{y}=\ \lambda e+2\mu \epsilon _{y}$

$\sigma _{z}=\ \lambda e+2\mu \epsilon _{z}$

כאשר:

• $\ \sigma _{i}$ - מאמץ (ניצב לשטח החתך) בכיוון $\ i$
• $\ \epsilon _{i}$ - מעוות בכיוון $\ i$

הקשר בין מאמץ הגזירה למעוות הגזירה

$\ \tau _{xy}=\mu \epsilon _{xy}$

$\ \tau _{xz}=\mu \epsilon _{xz}$

$\ \tau _{yz}=\mu \epsilon _{yz}$

כאשר:

• $\ \tau _{ij}$ - הוא מאמץ גזירה
• $\ \epsilon _{ij}$ - הוא מעוות גזירה
• $\ \mu$ - הוא הקבוע השני של לאמה המשמש כאן כמודול הגזירה בדומה למודול האלסטיות במאמץ מתיחה לפי חוק הוק.

ערכים אפשריים למקדם פואסון

נתבונן בקבוע הראשון של לאמה. עבור הערכים $\ \nu =-1,\nu =0.5$ נקבל:

$\lambda ={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}\longrightarrow \infty$

• הערכים שמקדם פואסון $\ \nu$ יכול לקבל הם $\ -1<\nu <0.5$.

באופן מעשי $\ 0<\nu <0.5$. אבל ישנם פולימרים בעלי מקדם פואסון שלילי (מצב בו החומר מתרחב במתיחה). חומרים כאלו נקראים Auxetic materials, ומבנים בעלי התכונה הזאת נקראים Chiral Structures. מקדם פואסון גדול מ-0.5 אינו אפשרי עבור חומרים איזוטרופים.

מהירות התפשטות הגל במוט

מהירות הגל האורכית במוט נתונה על ידי הביטוי:

$\ C_{(\lambda ,\mu ,\rho )}={\sqrt {\frac {\lambda +2\mu }{\rho }}}$

כאשר:

• $\ C_{(\lambda ,\mu ,\rho )}$ - היא מהירות התפשטות הגל האורכית במוט
• $\ \lambda$ - הוא הקבוע הראשון של לאמה
• $\ \mu$ - הוא הקבוע השני של לאמה
• $\ \rho$ - היא צפיפות המסה של חומר המוט (מסה ליחידת נפח)

סיכום מילולי

• המאמצים בשלושת הכוונים הראשיים מושפעים בצורה אחידה על ידי ביטוי שינוי הנפח $\ \lambda e$ ובצורה ייחודית על ידי ביטוי המעוות בכיוון המאמץ וקשיחות הגוף $\ \mu \epsilon _{ij}$.
• כל שינוי בנפח הגוף מביא בהכרח למאמצים בשלושת הכוונים הראשיים.
• המאמצים ומאמצי הגזירה מושפעים על ידי ביטויים זהים המתייחסים למודולי הקשיחות ולמעוותים המתאימים. המאמצים ומאמצי הגזירה מתייחסים למעוות אבל המאמצים מתייחסים גם לשינוי הנפח.
• המאמצים גורמים לשינוי בנפח ומאמצי הגזירה גורמים לשינוי הצורה.

הקשר בין מודולי האלסטיות בחומרים אחידים בעלי תכונות זהות בכל הכוונים
מודול יאנג ($\ E$) | מודול הגזירה ($\ \mu$) | מקדם פואסון ($\ \nu$) | הקבוע הראשון של לאמה ($\ \lambda$) | מודול הנפח ($\ K$) כל אחד מקבועי האלסטיות יכול להיות מוגדר באמצעות אחד מזוגות הקבועים האחרים.
$(\lambda ,\,\mu )$ $(E,\,\mu )$ $(K,\,\lambda )$ $(K,\,\mu )$ $(\lambda ,\,\nu )$ $(\mu ,\,\nu )$ $(E,\,\nu )$ $(K,\,\nu )$ $(K,\,E)$ $=K\,$ מודול הנפח $\lambda +{\frac {2\mu }{3}}$ ${\frac {E\mu }{3(3\mu -E)}}$ / / $\lambda {\frac {1+\nu }{3\nu }}$ ${\frac {2\mu (1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$ ${\frac {E}{3(1-2\nu )}}$ / / $=E\,$ מודול יאנג $\mu {\frac {3\lambda +2\mu }{\lambda +\mu }}$ / $9K{\frac {K-\lambda }{3K-\lambda }}$ ${\frac {9K\mu }{3K+\mu }}$ ${\frac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$ $2\mu (1+\nu )\,$ / $3K(1-2\nu )\,$ / $=\lambda \,$ הקבוע של לאמה / $\mu {\frac {E-2\mu }{3\mu -E}}$ / $K-{\frac {2\mu }{3}}$ / ${\frac {2\mu \nu }{1-2\nu }}$ ${\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$ ${\frac {3K\nu }{1+\nu }}$ ${\frac {3K(3K-E)}{9K-E}}$ $=\mu \,$ מודול הגזירה / / $3{\frac {K-\lambda }{2}}$ / $\lambda {\frac {1-2\nu }{2\nu }}$ / ${\frac {E}{2+2\nu }}$ $3K{\frac {1-2\nu }{2+2\nu }}$ ${\frac {3KE}{9K-E}}$ $=\nu \,$ מקדם פואסון ${\frac {\lambda }{2(\lambda +\mu )}}$ ${\frac {E}{2\mu }}-1$ ${\frac {\lambda }{3K-\lambda }}$ ${\frac {3K-2\mu }{2(3K+\mu )}}$ / / / / ${\frac {3K-E}{6K}}$

לקריאה נוספת

• G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0882754203
• Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976.
• S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970. 1991.

• I.S. Sokolnikoff, Mathematical theory of elasticity, McGraw-Hill (1956), Translated from Russian

קישורים חיצוניים

• קבועי לאמה, באנגלית
• מחשבון לחישוב קבועים, באנגלית
• קבועי לאמה, באנגלית
• אלסטיות, באנגלית
• גבריאל לאמה, אוניברסיטת ברקלי, באנגלית
• המהירות האורכית של הגל במוט כתלות בקבועי לאמה, באנגלית
• מאמץ מעוות בעזרת קבועי לאמה, באנגלית