משוואות סטוקס

בתורת הזורמים, זרימה זוחלת או זרימת סטוקס היא זרימה בה השפעת איברי האינרציה במשוואות נאוויה-סטוקס זניחות ביחס להשפעת כוחות הצמיגות (גבול שמתקיים במספרי ריינולדס נמוכים $Re<<1$ ). משוואות התנועה עבור זרימה זוחלת הן משוואות סטוקס. זרימה כזו מתקיימת כאשר מהירות הזרימה איטית, הצמיגות גבוהה או שמימד האורך בבעיה קטן יחסית.

זרימה זוחלת נחקרה לראשונה כשנוצר צורך במידול של שימון וסיכה. הזרימה נפוצה בטבע במקרים רבים, לדוגמה: שחיה של מיקרו אורגניזמים, וזרימת לבה (שמתאפיינת במהירות נמוכה ובצמיגות גבוהה). הזרימה מופיעה גם בהנדסה, כשהיא מתרחשת בצביעה, במכשירי MEMS ובזרימה צמיגה של פולימרים^[1].

משוואות סטוקס

משוואות התנועה עבור זרימות זוחלות הן משוואות סטוקס. ניתן לקבלן על ידי ביצוע ליניאריזציה של משוואות נאוויה-סטוקס במצב מתמיד. ניתן להזניח את איברי האינרציה ולקבל את מאזן המומנטום של משוואות סטוקס:

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbb {P} +\mathbf {f} =0

כאשר $\scriptstyle \mathbb {P}$ הוא טנזור מאמצים המייצג את הכוחות הנובעים מכוחות הצמיגות והלחצים החיצוניים ו $\scriptstyle \mathbf {f}$ הוא כוחות הגוף הפועלים על הזרימה.

משוואת סטוקס המלאה כוללת בתוכה גם את חוק שימור המסה:

${\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =0$

כאשר $\scriptstyle \rho$ הוא צפיפות הנוזל, $\scriptstyle \mathbf {u}$ היא מהירות הנוזל ו $\scriptstyle {\frac {D}{Dt}}$ הנגזרת החומרית. בזרימה לא דחיסה מתקיים כי $\scriptstyle \rho$ קבוע ולכן הנגזרת שלו שווה לאפס וניתן לצמצמו מהאיבר השני של המשוואה:

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

מאפיינים

משוואות סטוקס מייצגות פישוט ניכר ממשוואות נאוויה-סטוקס, במיוחד עבור המקרה של זורמים בלתי דחיסים וניוטוניים. כאמור, משוואות סטוקס מתקבלות ממשוואות נאוויה-סטוקס במצב בו הצמיגות משמעותית יותר מהאינרציה. גבול זה מתקיים במצב בו מספר ריינולדס שואף ל-0.

מיידיות

משוואות סטוקס לא כוללות נגזרות בזמן של שדה המהירויות והמשוואות הלא דחיסות לא כוללות את משתנה הזמן כלל ולכן בהינתן תנאי שפה למשוואות ניתן למצוא את הזרימה באופן מיידי בלי תלות במצב המערכת בזמנים קודמים.

הופכיות בזמן

משוואות סטוקס מקיימות סימטריית הופכיות הזמן, ולכן אם הופכים את הכיוון של הלחצים החיצוניים על המערכת הזרימה שתתקבל הפוכה במדויק לזרימה המקורית. תופעה זו מאפשרת להפריד במדויק שני זורמים שנראים כאילו עורבבו באמצעות זרימת זוחלת, ומעידה על כך שקשה לבצע ערבוב כזה.

הדגמת ההפיכות בזמן של זרימה זוחלת. בתמונה הראשונה הוזרק דיו בשני צבעים שונים לתוך חומר בעל צמיגות גבוהה הנמצע בין שני גלילים בעלי מרכז משותף (תא טיילור-קואט). בתמונה השנייה הדיו התפשט באמצעות סיבוב הגליל הפנימי ונראה שהדיו התערבב בחומר. בתמונה השלישית הגליל הפנימי סובב בכיוון ההפוך, כך שהגלילים חזרו למקומם המקורי, הדיו חוזר למקומו המקורי ומגלה שהוא מעולם לא "התערבב" בחומר.

שני המאפיינים האלה נכונים לזרימה בלתי דחיסה של זורמים ניוטוניים, והם אינם נכונים במקרה של זרימה זוחלת כללית.

פרדוקס סטוקס

פרדוקס סטוקס הוא הכינוי לעובדה שלא קיים פתרון מתמטי המקיים זרימת סטוקס דו-ממדית מסביב לגליל כאשר המהירות באינסוף היא קבועה. הפרדוקס מציג את הבעייתיות בשימוש במשוואות סטוקס כאשר מדובר על זרימה במרחקים גדולים, ופתרונו נמצא בכך שלא ניתן להשתמש במשוואות סטוקס במצב כזה.

זרימה בלתי דחיסה של זורמים ניוטונים

משוואת סטוקס של זורמים ניוטוניים בלתי דחיסים היא:

{\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\mathbf {f} &=0\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}

כאשר $\scriptstyle {u}$ , מייצג את המהירות של הזורם, $\scriptstyle {\boldsymbol {\nabla }}p$ את גרדיאנט הלחצים, $\scriptstyle \mu$ את הצמיגות, ו- $\scriptstyle \mathbf {f}$ מייצג את כוחות הגוף. משוואה זו היא ליניארית במהירות והלחץ, מה שמקל מאוד על פתרון שלה ביחס לפתרון המלא של משוואות נאוויה-סטוקס.

קואורדינטות קרטזיות

בקואורדינטות קרטזיות אפשר לכתוב $\scriptstyle \mathbf {u} =(u,v,w)$ ו- $\scriptstyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})$ . ולפתח את הצורה הווקטורית של המשוואות לארבע המשוואות הבאות:

{\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}

הגענו למשוואות אלה לאחר שהנחנו ש $\scriptstyle \mathbb {P} ={\frac {1}{2}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T})-p\mathbb {I}$ והצפיפות $\rho$ היא קבועה.

שיטות לפתרון

שימוש בפונקציית זרם

משוואת שימור המסה מספקת למשוואות סטוקס צורה המזכירה את משוואת לפלס, המופיעה לדוגמה עבור שדות חשמליים באלקטרוסטטיקה. עבור שדות חשמליים מתקיים $\nabla \times {\vec {E}}=0$ ולכן ניתן לכתוב מתקיים ${\vec {E}}={\vec {\nabla }}\phi$ (כאשר ${\vec {E}}$ השדה החשמלי ו- $\phi$ הפוטנציאל החשמלי) ובמקרה בו אין מטענים במערכת מתקיים $\nabla \cdot {\vec {E}}=0$ , מה שיוצר את משוואת לפלס $\nabla ^{2}\phi =0$ .

היחסים במשוואת סטוקס עבור זורמים ניוטוניים בלתי דחיסים מסובכים מעט יותר. משוואת סטוקס מקיימת $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$ ולכן קיימת פונקציה (הקרויה פונקציית זרם) עבורה $\mathbf {u} =\nabla \times \Psi$ . הערבוליות של המערכת מקיימת $\omega =\nabla \times \mathbf {u} =-\nabla ^{2}\Psi$ . מצד שני, בהתאם למשוואת התנע בזרימת סטוקס מתקיים $\mu \nabla ^{2}\omega =-\nabla \times \mathbf {f}$ ובמקרה בו כל הכוחות החיצוניים על הגוף הם כוחות משמרים מתקיים $\nabla ^{2}\omega =0$ , ולפיכך $\nabla ^{4}\Psi =0$ . זוהי משוואה סגורה עבור פונקציית הזרם, וניתן להשתמש בה כדי למצוא את פונקציית הזרם ולפתח ממנה את שדה המהירויות. שיטה זו שימושית במיוחד כאשר ישנה סימטריה במערכת, כגון במקרה בו הזרימה דו-ממדית או שקיימת בה סימטריה גלילית או כדורית, במצבים כאלה פונקציית הזרם תלויה רק בשתי קואורדינטות ומשוואת הזרם מקבלת את אחת מהצורות הבאות:

סוג הפונקציה	סימטריה	משוואה
פונקציית זרם $(\psi )$	דו־ממדי, מישורי	$\Psi =\psi {\hat {z}}$ ו- $\nabla ^{4}\psi =0$ או $\Delta ^{2}\psi =0$ (משוואה בי-הרמונית)
פונקציית הזרם של סטוקס $(\Psi )$	כדורית	$E^{2}\Psi =0,$ כאשר $E={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{\sin {\theta } \over r^{2}}{\partial \over \partial \theta }\left({1 \over \sin {\theta }}{\partial \over \partial \theta }\right)$
פונקציית הזרם של סטוקס $(\Psi )$	גלילית	$L_{-1}^{2}\Psi =0,$ where $L_{-1}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}$

שימוש בפונקציית גרין: הסטוקסלט

העובדה שמשוואת סטוקס בזורמים ניוטוניים בלתי דחיסים היא משוואה ליניארית מאפשרת פתרון של הזרימה באמצעות פונקציית גרין. בטכניקה זו פותרים את משוואות סטוקס עם אילוץ המוחלף בכוח נקודתי הפועל בנקודה מסוימת במרחב, ותנאי שפה נעלמים באינסוף.

{\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r-\mathbf {r} _{0}} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}

כאשר $\mathbf {\delta } (\mathbf {r} )$ הוא פונקציית דיראק, ו- $\mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )$ מייצג את הכוח הנק' הפועל בנקודה. הפתרון עבור הלחץ p והמהירות u עם |u| וp שואף לאפס באינסוף וניתן על ידי

\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}

כאשר: $\mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)$ הוא טנזור מסדר שני.

הפתרון הניתן על ידי הטנזור $\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )$ נקרא סטוקסלט. הסטוקסלט מדמה הוא מצב בו אין מאמצים חיצוניים בשום מקום במערכת חוץ מנקודה אחת, בה מופעל כוח (או המאמץ) $\mathbf {F}$ . ניתן להקביל פתרון זה לאלקטרוסטטיקה, שם ניתן לפתור לשדה חשמלי במצב של פיזור מטענים כללי על ידי שימוש בפונקציית גרין המחשבת את השדה החשמלי כתוצאה מהימצאות מטען נקודתי בנקוד מסוימת.

עבור פילוג כוח (כוח מפורס) $\mathbf {f} (\mathbf {r} )$ הפתרון יכול להימצא על ידי סופרפוזיציה:

$\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} (\mathbf {r'} )\cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} (\mathbf {r'} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'}$

פתרון אינטגרלי זה מקיים שדה מהירויות שדועך באינסוף. במקרה של תנאי שפה אחרים ניתן למצוא פונקציית גרין המקיימת את תנאי השפה ולבנות פתרון מלא בצורה דומה.

הפתרון של פפקוביץ-ניובר (Papkovich–Neuber solution)

כאשר כוחות הגוף החיצוניים מתאפסים ניתן לפתור את משוואת סטוקס באמצעות שימוש בשני פונקציות הרמוניות, אחת וקטורית $\Phi$ ואחת סקלרית $\chi$ כאשר מתקיים:

$p=\nabla \cdot \mathbf {\Phi } ;\qquad \mathbf {u} ={\frac {1}{2\mu }}(\nabla (\mathbf {x} \cdot \mathbf {\Phi } +\chi )-2\mathbf {\Phi } )$ . מציאת פונקציות הרמוניות המקיימות את תנאי השפה פשוטה יותר ממציאת פונקציה בי-הרמונית הנדרשת לפתרון באמצעות פונקציית הזרם.

משפטים המתקיימים בזרימת סטוקס

חוק סטוקס

ערך מורחב – חוק סטוקס

בניגוד לזרימה אוילרית, בה כוח הגרר על גוף המונח בזרימה מתאפס (פרדוקס ד'אלמבר), בזרימה זוחלת מתקבל כוח גרר הפרופורציונלי למימד האורך של הגוף ולמהירותו. סטוקס חישב במדויק את הכוח הפועל על כדור הנע במהירות $U$ בתוך זורם הנמצא במנוחה וגילה שמתקיים: $F_{drag}=-6\pi \mu RU$ כאשר $R$ רדיוס הכדור.

חוק פאקסן

פאקסן הרחיב את חוק סטוקס למצב בו הכדור נע בתנועה בתוך זורם שלא נמצא במנוחה, במצב זה על הכדור פועל כוח ומומנט כוח. עבור כדור הנע במהירות $U$ ומסתובב במהירות זוויתית $\omega$ בתוך זורם ששדה המהירויות שלו הוא $\mathbf {u} _{\infty }$ ושדה הערבוליות שלו הוא $\mathbf {\Omega } _{\infty }=\nabla \times \mathbf {u} _{\infty }$ מתקיים:

$\mathbf {F} =6\pi \mu R\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} _{\infty }\vert _{x=x_{0}}-6\pi \mu RU$

$\tau =8\pi a^{3}(\mathbf {\Omega } _{\infty }(x)-\omega )\vert _{x=x_{0}}$

משפט ההדדיות של לורנץ

שדה המהירויות בזרימת סטוקס נוצר באופן מיידי מהמאמצים, מצב זה דומה למצב באלקטרוסטטיקה בו השדה החשמלי (והפוטנציאל החשמלי) נוצרים באופן מיידי מפיזור המטענים. ההיווצרות המיידית הזו מאפשרת לקשר בין שדות ומאמצים שונים הפותרים את משוואת סטוקס באותו אזור במרחב. בהינתן אזור במרחב התחום במשטח $S$ ושני שדות $\mathbf {u} ,\mathbf {u'}$ הנוצרים על ידי המאמצים $\sigma ,\sigma '$ מתקיים: