ספקטרום של מטריצה

במתמטיקה, הספקטרום של מטריצה היא קבוצה של ערכיה העצמיים של המטריצה. באופן כללי יותר, אם $T\colon V\to V$ היא העתקה ליניארית על מרחב וקטורי ממימד סופי, הספקטרום שלה הוא הקבוצה של סקלרים $\lambda$ כך ש- $T-\lambda I$ לא הפיכה. הדטרמיננטה של המטריצה שווה למכפלת הערכים העצמיים שלה. בדומה, העקבה של המטריצה שווה לסכום הערכים העצמיים שלה.

מנקודת מבט זו, נוכל להגדיר פסאודו-דטרמיננטה להיות מכפלת הערכים העצמיים ששונים מ-0 של המטריצה. הצפיפות של התפלגות רב-נורמלית משתמשת בפסאודו-דטרמיננטה זו.

בשימושים רבים, כמו PageRank, אנו מעוניינים בערך העצמי הדומיננטי, כלומר הגדול ביותר בערך מוחלט. בשימושים נוספים, הערך העצמי הקטן ביותר בערך מוחלט חשוב, אבל באופן כללי, הספקטרום כולו מספק מידע רב על המטריצה.

הגדרה

יהי V מרחב וקטורי ממימד סופי מעל שדה כלשהו K ונניח ש T : V → V היא העתקה ליניארית. הספקטרום של T, המסומן σ_T, הוא המולטי קבוצה (קבוצה עם חזרות) של שורשי של הפולינום האופייני של T. לכן, כל האלמנטים של הספקטרום הם בדיוק הערכים העצמיים של T, והריבוי של ערך עצמי λ בספקטרום שווה למימד של המרחב העצמי של T עבור λ (הנקרא גם הריבוי האלגברי של λ).

כעת, נקבע בסיס B של V מעל K ונניח ש-M ∈ Mat_K(V) היא מטריצה. נגדיר את ההעתקה הליניארית T : V → V איבר-איבר לפי Tx = Mx, כאשר בצד ימין ה-x הוא וקטור עמודה ו-M פועלת על x לפי כפל מטריצות. כעת נאמר ש- x ∈ V הוא וקטור עצמי של M אם x הוא וקטור עצמי של T. בדומה, λ ∈ K הוא ערך עצמי של M אם הוא ערך עצמי של T, עם ריבוי אלגברי זהה, והספקטרום של M, המסומן σ_M, היא המולטי-קבוצה של כל הערכים העצמיים הללו.

מושגים קשורים

הפירוק העצמי (או פירוק ספקטרלי) של מטריצה לכסינה הוא פירוק של מטריצה אלכסונית לצורה קנונית ספציפית שֶׁבּוֹ המטריצה מיוצגת על ידי הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים שלה.

הרדיוס הספקטרלי של מטריצה ריבועית הוא הערך העצמי המקסימלי בערך מוחלט. בתורת הספקטרלים, הרדיוס הספקטרלי של אופרטור ליניארי חסום הוא הסופרמום של הערכים המוחלטים של הערכים בספקטרום של האופרטור.

קישורים חיצוניים

• ספקטרום של מטריצה, באתר MathWorld (באנגלית)