פונקציית המלבן

פונקציית המלבן (ידועה גם כפולס של גל מרובע; באנגלית: rectangular,‏ rectangle function,‏ rect function או unit pulse) מוגדרת כדלהלן:

\mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}

ישנן הגדרות שונות לערך הפונקציה בנקודות אי-הרציפות $\pm 1/2$ והן 0, 0.5, 1 או לא מוגדר.

אפשר לבטא את פונקציית המלבן באמצעות פונקציית הביסייד $u(t)$ :

\mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=u\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-u\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)

או לחלופין:

\mathrm {rect} (t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot u\left({\frac {1}{2}}-t\right)

פונקציית המלבן מנורמלת מבחינת שטח:

\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1

התמרות פורייה של פונקציית המלבן הן:

{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right)

,

כאשר $\omega$ היא התדירות הזוויתית ו־ $\operatorname {sinc}$ היא הצורה הלא־מנורמלת של פונקציית sinc.

או:

\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} _{\pi }(f)

כאשר $f$ היא התדירות ו־ $\operatorname {sinc} _{\pi }$ היא הצורה המנורמלת של פונקציית sinc.

התמרת פורייה של פונקציית המלבן $\operatorname {rect} (t/a)$ , היא:

\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}

.

ניתן להגדיר את פונקציית המשולש כקונבולוציה של שתי פונקציות מלבן:

\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)

כאשר מסתכלים על פונקציית מלבן כהתפלגות הסתברות, הפונקציה האופיינית שלה היא

\varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}}\,

והפונקציה יוצרת מומנטים שלה היא

M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}}\,

כאשר $\mathrm {sinh} (t)$ היא סינוס היפרבולי.

ראו גם

קישורים חיצוניים

פונקציית המלבן, באתר MathWorld (באנגלית)